一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.)

1．已知全集
，则正确表示集合
和
关系的韦恩（Venn）图是（ ）

2．设复数

且
，则复数的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．定义在上的偶函数
满足：对任意
，且
都有
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

4．已知向量
，
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）

相关系数为
相关系数为

相关系数为
相关系数为

A．
B．

C．
D．

6. 设等差数列
的公差为d，若
的方差为1，则d等于

A.
B. 1 C.
D. ±1

7. 在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向该矩形内随机投一点P，

那么使得△ABP与△ADP的面积都不小于1的概率为

A.
B.
C.
D.

8. 已知抛物线
的焦点F到双曲线C：

渐近线的距离为
，点P是抛物线

上的一动点，P到双曲线C的上焦点
的距离与到直线
的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为

A.
B.

C.
D.

9. 已知三棱锥
的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：

BC⊥平面SAC； ②平面SBC⊥平面SAB；

③平面SBC⊥平面SAC； ④三棱锥S－ABC的体积为
。

其中所有正确命题的个数为

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二.填空题（本大题共5小题,每小题5分，共25分）

11.某市有
三所学校共有高三文科学生1500人，且
三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容

量为120的样本，进行成绩分析，则应从校学生中抽取_________人.

12．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是__________.

13.如图是半径为2，圆心角为
的直角扇形OAB， Q为
上一点，点P在扇形内（含边界），且
，则
的最大值为 ．

14.已知存在实数使得不等式
成立，则实数的取值范围是

15.数列
的前n项和为
，若数列
的各项按如下规律排列：

.若存在正整数
，使
则
= .

三．解答题：（本题共6大题，共75分）

16. （12分）已知函数
的图像经过点A（0，1）、
。

（1）当
时，求函数
的单调增区间；

（2）已知
，且
的最大值为
，求
的值。

17（12分）已知数列
是公差不为0的等差数列，
，且
，
，
成等比数列。

求数列
的通项公式；2）设
，求数列
的前项和为
.

18（12分）.2013年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35毫克/ 立方米，某城市环保部门在2014年1月1日到2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的检测数据统计如下：

组别

PM2.5浓度（微克/立方米）

频数（天）



第一组



32



第二组



64



第三组



16



第四组

115以上

8



在这这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？2）在1）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（毫克/ 立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（毫克/ 立方米）的概率。

19（12分）．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；

20．（13分）已知椭圆
的长轴长为8，离心率为
.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作直线l交抛物线y2=4x于A、B两点。

①求证：OA⊥OB；

②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明：|OM|为定值.

21．（14分）已知函数
，
（∈R），令
.

当
时，求
的极值；2）当
时， 求
的单调区间；

3）当
时，若对
∈
，使得
恒成立，求实数的取值范围。

高三文科数学答案：

故
。 12分

17解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由
和
成等比数列，得

， 解得
，或
，……………………2分

当
时，
，与
成等比数列矛盾，舍去．

， ………………………4分

即数列
的通项公式
…………6分

∵
……………………8分

∴

解：1）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，第一组抽取
天；第二组抽取
天；第三组抽取
天；第四组抽取
天。………4分

设PM2.5的平均浓度在
内的4天记为
，
，
，
，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为
，
，所以6天任取2天的情况有：
共15种。…………………8分

记恰有一天平均浓度超过115（毫克/ 立方米）为事件，其中符合条件的有：

共8种.……………10分

所求事件的概率
。……………12分

19（12分）

20．（13分）已知椭圆
的长轴长为8，离心率为
.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的右顶点作直线l交抛物线y2=4x于A、B两点。

①求证：OA⊥OB；

②设OA、OB分别与椭圆相交于点D、E，过原点D作直线DE的垂线OM，垂足为M，证明：|OM|为定值.

21（14分）已知函数
，
（∈R），令
.

当
时，求
的极值；

2）当
时， 求
的单调区间；

3）当
时，若对
∈
，使得
恒成立，求实数的取值范围。

解：1）∵
，
，其定义域为
。………………1分

当
时，
，
……………2分

令
，解得
，当
时，
；当
时，
.

所以
的单调减区间为
，单调增区间为
；当
时，
有极小值
，无极大值…………4分

因为

所以
，（
）。

当
时，
，令
，得
，或
；令
，得
。

当当
时， 求
的单调增区间为
；单调递减区间为
，
…………………8分

3）由2）可知当当
时，
在
上单调递减，所以
，
。

，

因为对
∈
，使得
恒成立，

所以
………………10分

整理得：
，又因为
，
，

所以
，
，
，
，所以
，

故实数的取值范围是
.………………12分