本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）

1．已知复数

，且
（是虚数单位），则
（ ）

A．
B．
或
C．
D．
或

2．若集合
满足对任意的
，有
，则称集合
为“闭集”，下列集合中不是“闭集”的是（ ）

A．自然数集
B．整数集 C．有理数集
D．实数集

3．程序框图如下图所示，当
时，输出的
的值为（ ）

A．20 B．22 C．24 D．25



4．若从区间
内随机取两个数，则两个数之比不小于的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知向量，
的夹角为
，且
，
，则向量
在向量方向上的投影是（ ）

A．
B． C．
D．

6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在第（ ）号座位上

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7．已知点
，
，
，若线段
和
有相同的垂直平分线，则点的坐标是（ ）

A.
B.
C.
D.

8．以下有五个结论：

①某校高三一班和高三二班的人数分别是
，某次测试数学平均分分别是
，则这两个班的数学平均分为
；

②若x1，x2，…，x10的平均数为a，方差为b，则x1+5，x2+5，…，x10+5的平均数为a+5，方差为b+25.；

③从总体中抽取的样本
， 则回归直线=
至少过点
中的某一个点；

其中正确结论的个数有（ ）

A．0个 B． 1 个 C．2 个 D．3个

9．已知点
分别是正方体
的棱
的中点，点
分别是线段
与
上的点，则满足与平面
平行的直线
有

A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条

10.已知
则下列函数的图象错误的是 （　）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11.已知
，那么
的值为________．

12．已知实数
满足
，则
的最小值为

13．已知等差数列
的公差
，若

，则
_____.

14. 已知
是曲线
的两条互相平行的切线，则
与
的距离的最大值为_____.

15．函数
的定义域为D，若对于任意
，当
时都有
，则称函数
在D上为非减函数，设
在
上为非减函数，且满足以下条件：
则
．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

16.(本小题满分12分）

为了宣传“低碳生活”，来自三个不同生活小区的3名志愿者利用周末休息时间到这三个小区进行演讲，每个志愿者随机地选择去一个生活小区，且每个生活小区只去一个人.

⑴求甲恰好去自己所生活小区宣传的概率；

⑵求3人都没有去自己所生活的小区宣传的概率.

17. （本小题满分12 ） 已知向量
，函数
，
.

⑴求函数
的最小正周期和单调递减区间；

⑵将函数
的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
，把所得到的图像再向左平移
单位，得到函数
的图像，求函数
在区间
上的最大值.

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
，
，
°，平面
平面
，，分别为
，
中点．

（1）求证：
；

（2）求三棱锥
的体积.

19．（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差不为0，前四项和
，且
成等比.

⑴求数列
的通项公式；

⑵另
，求
；

⑶设
为数列
的前项和，若
对一切
恒成立，求实数
的最小值.

20．（本小题满分13分）

在椭圆中，称过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦为椭圆的“通径”．已知椭圆


的左、右焦点分别为
、
，其离心率为
，通径长为3．

（1）求椭圆
的方程；

（2）如图所示，过点
的直线与椭圆交于、两点，
、
分别为
、
的内心，延长
与椭圆交于点
，求四边形
的面积与
的面积的比值；

（3）在轴上是否存在定点，使得
为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21. (本小题满分14分)已知函数
.

（1）当
时，求
在
处的切线方程；

（2）设函数
，

（ⅰ）若函数
有且仅有一个零点时，求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若
，
，求
的取值范围。

16.(本小题满分12分)

解：设甲、乙、丙三人分别来自A,B,C生活小区，则安排方案共有

A 甲 甲 乙 乙 丙 丙

B 乙 丙 甲 丙甲 乙

C 丙 乙 丙 甲 乙 甲 6种

⑴
............6分 ⑵
.............12分

18（本小题满分12分）

解：

（1）连结
，

因为
∥
，又
°，

所以
.

又
，为
中点，

所以
.

所以
平面
，

所以
. …………………6分

（2）因为平面
平面
，

有
，

所以
平面
，

所以
. …………12分

⑶

又

的最小值为
........ 12分

20.解：（1）由题意可知：
，通径为
，解得：
，

故椭圆
的方程为：
（3分）

（2）由于
、
分别为
、
的内心，根据内心的性质和等面积法可知：

点
内切圆的半径
，

同理可得：点
内切圆的半径
（5分）

根据韦达定理可得：
，
，

由于
，

则

整理可得：
（
为常数） （10分）

则
对
恒成立

即
…………………………6分

令
，

则

令

，

，
在
上是减函数…………………8分

又
，

函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增

又
，

即

………………14分