广东省韶关市2014届高三4月高考模拟（二模）

数学试题（理科）

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.

　　2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.

　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.

参考公式:圆柱侧面积公式
，其中是圆柱底面半径，
为圆柱的母线.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

1.是虚数单位,则复数
在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2.函数
的零点所在区间是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 在钝角
中，
，
，则
的面积为（　　）

A．
B．
C．
D．

4. 某个几何体的三视图如右上图（其中正视图中的圆

弧是半圆）所示,则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是
,则判断框内

的条件（　　）

A．
? B．
?

C．
? D．
?

6. 给出下列四个命题，其中假命题是（ ）

A．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

B．样本方差反映了样本数据与样本平均值的偏离程度；

C．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；

D．设随机变量
服从正态分布
，若
则
.

7. 给出如下四个判断：

①
；②
；

③设集合
,
,则“
”是“
”的必要不充分条件; ④
,
为单位向量,其夹角为
，若
，则
.

其中正确的判断个数是：（ ）

A．１ B．２ C．３ D．４

8. 若直角坐标平面内的两不同点、
满足条件：①、
都在函数
的图像上；②、
关于原点对称，则称点对
是函数
的一对“友好点对”（注：点对
与
看作同一对“友好点对”）．已知函数
=
，则此函数的“友好点对”有（ ）对．

A． 0 B． 1 C．2 D． 3

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

(一)必做题(9～13题)

9.函数
的定义域是________．

10. 已知向量

,

,且
∥
，则
________

11. 已知两条平行直线
与
之间的距离是

12. 抛物线
在
处的切线与轴及该抛物线所围成的图形面积为 .

13.已知
,若
恒成立, 则
的取值范围是

(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)

14. （坐标系与参数方程选做题）若以
为极点，轴正半轴为极轴，曲线
的极坐标方程为：
上的点到曲线
的参数方程为：
（为参数）的距离的最小值为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图所示，
是半径等于
的圆
的直径，

是圆
的弦，
,
的延长线交于点，若
，
，

则

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本题满分12分)

已知函数

(1)求
的值；

（2）当
时，求函数
的值域.

17.(本题满分12分)

袋中装有大小和形状相同的小球若干个黑球和白球，且黑球和白球的个数比为４:３,从中任取2个球都是白球的概率为
现不放回从袋中摸取球，每次摸一球，直到取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
表示取球终止时所需要的取球次数.

（1）求袋中原有白球、黑球的个数；

（2）求随机变量
的分布列和数学期望.

18.(本题满分14分)

如图，正方形
与梯形
所在的平面互相垂直，
，
∥
，
，
，
为
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求证：平面
平面
；

（3）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

19．(本题满分14分)

已知点，的坐标分别为
，
.直线
，
相交于点，且它们的斜率之积是
，记动点的轨迹为曲线
.

（1）求曲线
的方程；

（2）设
是曲线
上的动点，直线
，
分别交直线
于点
，线段
的中点为，求直线
与直线
的斜率之积的取值范围；

（3）在（2）的条件下，记直线
与
的交点为，试探究点与曲线
的位置关系，并说明理由.

20．(本题满分14分)

已知正项数列
中，其前项和为
，且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
是数列
的前项和，
是数列
的前项和，求证：
.

21．(本题满分14分)

已知函数
，其中
且
.

（1）讨论
的单调性；

(2) 若不等式
恒成立，求实数取值范围；

（3）若方程
存在两个异号实根
，
，求证：

广东省韶关市2014届高三4月高考模拟（二模）

参考答案和评分标准

一．选择题： AACAC AAB

1. 解析：
对应点在第一象限 , 选A

２. 解析：
，

,选A

3. 解析：由
得
，
，或
（舍去），则

选C

4. 解析： 三视图表示的几何体是由长方体和“半圆柱”组成的几何体，其中，长方体的上底面与“半圆柱”轴截面重合.
,选A

5. 解析：第一次循环，
，不满足条件，循环。第二次循环，
，不满足条件，循环。第三次循环，
，不满足条件，循环。第四次循环，
，满足条件，输出。所以判断框内的条件是
，选C

6. 解析：A.选项A中的抽样为系统抽样，故此命题为假命题.其它选项为真命题.故选A

7. 解析：
，①不正确；当
时，
，②不正确；
,
，当
时，
，
,反之，若
，不一定有
，③不正确；由
得，
，
，所以
，④正确．选A

8. 解析: 根据题意可知只须作出函数

的图象关于原点对称的图象，确定它与函数
交点个数即可,由图象可知，只有一个交点．选B

二.填空题：9.
； 10.
； 11., ； 12.
； 13.
；

14.
； 15.
.

9.解析:　
　得

10.解析:　

11.解析：两条直线
与
平行可得，
，
的方程为，
两直线距离：

12.解析:函数
的导数为
,即切线斜率为
,所以切线方程为
,即
,令
，得
，作图可知，围成的图形是曲边梯形去掉一个直角三角形，

所求面积为

.

13. 解析:要使不等式成立,则有
,即
,设
,则
.作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线
,由图象可知当直线
经过点B时,直线的截距最小,此时最大,由
,解得
,代入
得
,所以要使
恒成立,则
的取值范围是
,即
,

14.解析：曲线
直角坐标方程
，直线
：

圆心到直线距离
，所以，曲线
上点到
的距离的最小值

15. 解析：由割线定理知
，

，
为正三角形，
，

由圆的性质，圆周角等于圆心角的一半，得

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本题满分12分)

解：（1）

….2分

4分

6分

（2）

，



8分

，


10分

，即
的值域是



12分

17．(本题满分12分)

（1）依题意设袋中原有
个白球,则有
个黑球.

由题意知
，


4分

即
，解得
，

即袋中原有3个白球和4个黑球.



5分

（2）依题意，
的取值是
.

，即第1次取到白球，

，即第2次取到白球

同理可得，

10分

1

2

3

4

5


















分布列为

………………………………12分

18. (本题满分14分)

（1）证明：取
中点
，连结
．在△
中，

分别为
的中点，所以
∥
，且

．由已知
∥
，
，所以

∥
，且
．所以四边形
为平行四边形，

所以
∥
．

又因为
平面
，且
平面
，

所以
∥平面
．…………………………………………………………4分

（2）证明：在正方形
中，
．又因为

平面
平面
，且平面
平面
，

所以
平面
．所以
．…………………………………6分

在直角梯形
中，
，
，可得
．

在△
中，
，所以
．………………………7分

所以
平面
．…………………………………8分

又因为
平面
，所以平面
平面
．……………………9分

（3）（方法一）延长
和
交于
．在平面

内过作
于,连结
．由平面
平面
，

∥
，
，平面

平面
=
，

得
，于是
．

又
，
平面
，所以
，

于是
就是平面
与平面
所成锐二面角的

平面角.……………………………………………………………………………12分

由
，得
.

又
，于是有
.

在
中，
.

所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
．………14分

（方法二）由（2）知
平面
，且
．

以为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系．易得
.平面
的一个法向量为
.设
为平面
的一个法向量，因为
，
所以
，令
，得
．

所以
为平面
的一个法向量． ……１２分

设平面
与平面
所成锐二面角为
．

则
．所以平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
．……………………………………………………………………………14分

19. (本题满分14分)

解：(1)设动点
，则
(
且
)

所以曲线
的方程为
(
).……………………………………………4分

（2）法一：设
，则直线
的方程为
，令
，则得
，直线
的方程为
，

令
，则得
，…………………………6分

∵

=

∴
，∴
…………………………………………8分

故

∵
，∴
，

∴，

∴
，

∴直线
与直线
的斜率之积的取值范围为
……………………………10分

法二：设直线
的斜率为
，则由题可得直线
的斜率为
，

所以直线
的方程为
，令
，则得
，

直线
的方程为
，令
，则得
，

∴
，

∴
………………………………………………………8分

故

∴直线
与直线
的斜率之积的取值范围为
……………………………10分

（3）法一：由（2）得
，
，

则直线
的方程为
，直线
的方程为
，…12分

由
，解得
即
……………12分

∴

∴ 点在曲线
上. ………………………………………………………………………14分

法二：由（2）得
，

∴
，
……………………12分

∴

∴ 点在曲线
上. …………………………………………………………14分

法三：由（2）得，
，
，

∴
，
……………………………12分

∴
　∴ 点在曲线
上. ……………………14分

20. (本题满分14分)

解：（1）法一：由
得

当
时，
，且
，故
………………………………………1分

当
时，
，故
，得
，

∵正项数列
，

∴
………………………………………………………………………4分

∴
是首项为，公差为的等差数列.

∴
，

∴
.……………………………………………………………6分

法二：

当
时，
，且
，故
……………………………………1分

由
得
，……………………………………………2分

当
时，

∴


，

整理得

∵正项数列
，
，

∴
，………………………………………………………………………5分

∴
是以为首项，为公差的等差数列，

∴
.………………………………………………………………………6分

（2）证明：先证：
……………………7分

.

故只需证
，……………………………………9分

因为[
]2

所以
………………………………………………12分

所以

当取
得到不等式，

相加得：

即：
………………………………………………………………………14分

2１. (本题满分14分)

解:(１)
的定义域为
.

其导数
…………………………………………………2分

①当
时,
,函数在
上是增函数;

②当
时,在区间
上,
;在区间(0,+∞)上,
．

所以,
在
是增函数,在(0,+∞)是减函数. ………………………………4分

(２)当
时, 则取适当的数能使
，比如取
，

能使
, 所以
不合题意…6分

当
时，令
,则

问题化为求
恒成立时的取值范围.

由于

在区间
上,
;在区间
上,
. …………8分

的最小值为
,所以只需

即
,
,
………………………………10分

(３)由于
存在两个异号根
，不仿设
，因为
,所以
……………………………………………………………………………………11分

构造函数:
(
)

所以函数
在区间
上为减函数.
,则
,

于是
,又
,
,由
在
上为减函数可知
.即
……………………………………………14分