数学试题（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿

纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1．复数满足
，则复数在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
,集合
，则集合中有___个元素

A．4 B．5 C．6 D． 7

3．下列函数中，在
上单调递减，并且是偶函数的是

A．
B．
C．
D．

4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量
之间关系最强的是

A． B． C． D．

5．如图所示的程序框图，该算法的功能是

A．计算
…
的值

B．计算
…
的值

C．计算
…

…
的值

D．计算
…

…
的值

6．已知双曲线
：

的焦距为
，焦点到双曲线
的渐近线的距离为
，则双曲线
的离心率为

A．2 B．
C．
D．

7．△
各角的对应边分别为
，满足
，则角的范围是

A．
B．
C．
D．

8．函数
的图象向左平移
个单位后关于原点对称，则函

数
在
上的最小值为

A．
B．
C．
D．

9．已知实数
满足：
，
，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
的图象在点
与点
处的切线互相垂直，

并交于点，则点的坐标可能是

A．
B．
C．
D．

12．已知点，
为圆
上的任意两点，且
，若
中点组成的区域为
，在圆
内任取一点，则该点落在区域
上的概率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第22题~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13．若
，则
．

14．已知函数
，则
．

15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 ．

16．在平面直角坐标系
中，已知点的坐标为
，
，点满足
，
，
，则线段
在轴上的投影长度的最大值为 ．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．（本小题满分
分）

设数列
的前项和
，数列
满足
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前项和
．

18．（本小题满分
分）

某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破

坏，其可见部分如下，据此解答如下问题：

（1）计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；

（2）若要从分数在
之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份的分数在
之间的概率；

（3）根据频率分布直方图估计这次测试的平均分．

19．（本小题满分
分）

如图，直三棱柱
中，
，
，
是
的中点，△
是等腰三角形，

为
的中点，为
上一点．

（1）若
∥平面
，求
；

（2）平面
将三棱柱
分成两个部分，求较小部分与较大部分的体积之比．

20．（本小题满分
分）

已知抛物线
：
的焦点为，若过点且斜率为的直线与抛物线相交于
两点,且
．

（1）求抛物线
的方程；

（2）设直线
为抛物线
的切线，且
∥
,为
上一点，求
的最小值．

21．（本小题满分
分）

已知函数
，
．

（1）若函数
在
处取得极值，求的值；

（2）若函数
的图象上存在两点关于原点对称，求的范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分
分）选修4─1：几何证明选讲．

如图，圆
与圆
交于
两点，以为切点作两圆的切线分别交圆
和圆
于
两点，延长
交圆
于点，延长
交圆
于点．已知
．

（1）求
的长； （2）求
．

23．（本小题满分
分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．

已知曲线的参数方程为
（
为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若点在曲线
上，点
，当点在曲线
上运动时，求
中点的轨迹方程．

24．（本小题满分
分）选修4─5：不等式证明选讲．

已知函数
．

（1）求

的解集；

（2）设函数

，若
对任意的
都成立，求
的取值范围．

长春三模文科数学参考答案及评分参考

1．【答案】

【解析】由
得，
，则复数在复平

面内对应的点为
，该点在第一象限，故选．

2．【答案】

【解析】∵
，所以
，∴中有6个元素，故

选
．

3．【答案】

【解析】四个函数中，是偶函数的有
，又
在
内单调递增，故选
．

4．【答案】

【解析】在频率等高条形图中，
与
相差很大时，我们认为两个分类变量

有关系，四个选项中，即等高的条形图中
所占比例相差越大，则分类

变量
关系越强，故选．

5．【答案】

【解析】初始值
，第次进入循环体：
，
；当第次进入

循环体时：
，
，…，给定正整数，当
时，

最后一次进入循环体，则有：
…
，
，

退出循环体，输出

…

…
，故选
．

6．【答案】

【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为
，即
，又
，代入得

，解得
，即
，故选．

7．【答案】

【解析】由
得：
，化简得：
，同除以
得，
，即

，所以
，故选．

8．【答案】

【解析】函数
向左平移
个单位得

，又其为奇函数，故则
，

，解得
，又
，令
，得
，

∴
，又∵
，∴
，

即当
时，
，故选．

9．【答案】

【解析】画出
约束条件限定的可行

域为如图阴影区域，令

，则
，先

画出直线
，再平移直线
，

当经过点
，
时，代入

，可知
，∴
，

故选
．

10．【答案】

【解析】设圆柱的底面半径为，高为
，则
，则
，则

侧

，
全
，故圆柱的侧面积与

全面积之比为
，故选．

11．【答案】

【解析】由题，
，
，则过
两点的切线斜率

，
，又切线互相垂直，所以
，即
.

两条切线方程分别为
，联立得

，∵
，∴
，代入
，

解得
，故选．

12．【答案】

【解析】
中点组成的区域为
如图所示，

那么在
内部任取一点落在
内

的概率为
，故选．

13．【答案】