数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分 150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿

纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.

1．复数满足
，则复数在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合
,集合
，则集合中有___个元素

A．4 B．5 C．6 D． 7

3．下列函数中，在
上单调递减，并且是偶函数的是

A．
B．
C．
D．

4．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量
之间关系最强的是

A． B． C． D．

5．如图所示的程序框图，该算法的功能是

A．计算
…
的值

B．计算
…
的值

C．计算
…

…
的值

D．计算
…

…
的值

6．已知双曲线
：

的焦距为
，焦点到双曲线
的渐近线

的距离为
，则双曲线
的离心率为

A．2 B．
C．
D．

7．△
各角的对应边分别为
，满足
，则角的范围是

A．
B．
C．
D．

8．函数
的图象向左平移
个单位后关于原点对称，则函数
在
上的最小值为

A．
B．
C．
D．

9．已知实数
满足：
，
，则的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
的图象在点
与点
处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是

A．
B．
C．
D．

12．为圆
：
上任意一点，
为圆
：
上任意一点，
中

点组成的区域为
，在
内部任取一点，则该点落在区域
上的概率为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作

答。第22题~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.

13．若
，则
．

14．已知函数
，则
．

15．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 ．

16．在平面直角坐标系
中，已知点在椭圆
上，点满足
，且
，则线段
在轴上的投影长度的最大值为 ．

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17．（本小题满分12分）

设数列
的前项和
，数列
满足
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前项和
．

18．（本小题满分
分）

低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量（千克）＝耗电度数
，家用天然气的二氧化碳排放量（千克）＝天然气使用立方数
等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一、六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”．经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例数据如下：

东城小区

低碳家庭

非低碳家庭



西城小区

低碳家庭

非低碳家庭



比例







比例







 （1）如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率；

（2）该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有
的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣传两周后随机地从东城小区中任选
个家庭，记
表示
个家庭中“低碳家庭”的个数，求
和
．

19．（本小题满分
分）

如图，直三棱柱
中，
，
，
是
的中点，△
是等腰三角形，为
的中点，为
上一点．

（1）若
∥平面
，求
；

（2）求直线
和平面
所成角的余弦值．

20．（本小题满分
分）

已知抛物线
：
和
：

的焦点分别为
，
交于
两点（
为坐标原点），且

.

（1）求抛物线
的方程；

（2）过点
的直线交
的下半部分于点
，交
的左半部分于点
，点坐标为
，求△
面积的最小值.

21．（本小题满分
分）

已知函数
，
．

（1）若函数
的图象在
处的切线与轴平行，求的值；

（2）若
，

恒成立，求的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22．（本小题满分
分）选修4─1：几何证明选讲．

如图，圆
与圆
交于
两点，以为切点作两圆的切线分别交圆
和圆
于
两点，延长
交圆
于点，延长
交圆
于点．已知
．

（1）求
的长； （2）求
．

23．（本小题满分
分）选修4─4：坐标系与参数方程选讲．

已知曲线的参数方程为
（
为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
．

（1）求曲线
的普通方程；

（2）若点在曲线
上，点
，当点在曲线
上运动时，求
中点的轨迹方程．

24．（本小题满分
分）选修4─5：不等式证明选讲．

已知函数
．

（1）求

的解集；

（2）设函数

，若
对任意的
都成立，求
的取值范围．

长春三模理科数学参考答案及评分参考

1．【答案】

【解析】由
得，
，则复数在复平

面内对应的点为
，该点在第一象限，故选．

2．【答案】

【解析】∵
，所以
，∴中有6个元素，故

选
．

3．【答案】

【解析】四个函数中，是偶函数的有
，又
在
内单调递增，故选
．

4．【答案】

【解析】在频率等高条形图中，
与
相差很大时，我们认为两个分类变量

有关系，四个选项中，即等高的条形图中
所占比例相差越大，则分类

变量
关系越强，故选．

5．【答案】

【解析】初始值
，第次进入循环体：
，
；当第次进入

循环体时：
，
，…，给定正整数，当
时，

最后一次进入循环体，则有：
…
，
，

退出循环体，输出

…

…
，故选
．

6．【答案】

【解析】双曲线焦点到渐近线的距离为
，即
，又
，代入得

，解得
，即
，故选．

7．【答案】

【解析】由
得：
，化简得：

，同除以
得，
，即

，所以
，故选．

8．【答案】

【解析】函数
向左平移
个单位得

，又其为奇函数，故则
，

，解得
，又
，令
，得
，

∴
，又∵
，∴
，即

当
时，
，故选．

9．【答案】

【解析】画出
约束条件限定的可行域为如图阴影

区域，令
，则
，

先画出直线
，再平移直线
，当经

过点
，
时，代入，可知

，∴
，故选
．

10．【答案】

【解析】设圆柱的底面半径为，高为
，则
，则
，则

侧

，
全
，故圆柱的侧面积与

全面积之比为
，故选．

11．【答案】

【解析】由题，