试卷类型：A

广东省湛江市2014届高三高考模拟测试（二）

数学（文科） 2014.04.15

本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔

将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．在复平面内，复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若关于的方程
有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

4．一个几何体的正视图、侧视图、和俯视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可以是

A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱

5．已知向量
，
，且
，则等于

A．
B．
C． D．

6．等比数列
中，
，
，则

A．
B．
C．
D．

7．已知
，则、
、的大小关系是

A．
B．
C．
D．

8．下列命题正确的是

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

9．已知双曲线
的离心率为2，一个焦点与抛物线
的焦点相同，则双曲

线的渐近线方程为

A．
B．
C．
D．

10．已知实数、满足不等式组
，且
恒成立，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．若
为偶函数，则实数
_______.

12．阅读如图所示的程序框图，若输入
，则输出的

值为______________.

13．在长为6
的线段
上任取一点
，现作一矩形，

邻边长分别等于线段
，
的长，则该矩形面积

大于8
的概率为_____________.

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆
：
的圆心到直线

的距离是_______________.

15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆
的直径
，

为圆周上一点，
，过
作圆
的切线
，则点到

直线
的距离
___________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

设函数
。

（1）求
的最小正周期；

（2）求
的单调递减区间。

17．（本小题满分12分）

某工厂有工人1000人，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加

过长期培训（称为B类工人）。现用分层抽样的方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查

100名工人，调查他们的生产能力（此处的生产能力指一天加工的零件数）。

(1) A类工人和B类工人中各抽查多少工人？

(2) 从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2。

①求，，再完成下列频率分布直方图；

②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组

中的数据用该组区间的中点值作代表）。

18．（本小题满分14分）

如图，在四棱台
中，底面
是平行四边形，
，

。

（1）证明：
平面
；

（2）证明：
//平面
。

19．（本小题满分14分）

已知等差数列
的首项
，公差
，且
分别是等比数列
的
，
，
。

(1) 求数列
和
的通项公式；

(2) 设数列
对任意正整数均有
成立，求
的值。

20．（本小题满分14分）

如图，点
是椭圆
：
的一个顶点，
的长轴是圆
：

的直径，
是过点且互相垂直的两条直线，其中
交圆
于、两点，

交椭圆
于另一点。

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 求△
面积的最大值及取得最大值时

直线
的方程。

21．（本小题满分14分）

已知函数

(1) 求函数
的单调区间；

(2) 证明：对任意的
，存在唯一的，使
；

(3) 设（2）中所确定的关于的函数为
，证明：当
时，有
。

湛江市2014年普通高考测试题（二）

数学(文科)参考答案及评分意见

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C 9.A 10.B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11. 12. 13.
14.
15.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

16. （本小题满分12分）

解：(1)∵

………………………………………………….2分

…………………………………………….6分

∴函数
的最小正周期
……………………………………….7分

（2）∵函数
的单调递减区间为
。

由
，

得
……………………………………….10分

∴函数
的单调递减区间为
……………….12分

17. （本小题满分12分）

解：（1）A类工人和B类工人中分别抽查25名和75名。………………………. 2分

（2）①由
，得
，

由
，得
……………………………………. 3分

频率分布直方图如下：

………………………………………………7分

②

，

…………………………………………………11分

A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及该工厂工人生产能力的平均数的估计

值分别为123，133.8，131.1。 ………………………………………12分

18.（本小题满分14分）

（1）证明：∵
在△
中，由余弦定理得

, ……2分

∴
，因此，
…………4分

∵
平面
，且
平面
.

∴
……………………………………6分

又
，∴
平面
…………7分

（2）证明：连接
，
，设
，连接
， …………………………8分

∵四边形
是平行四边形，∴

由棱台定义及
知

//
,且

， ……………10分

∴四边形
是平行四边形，因此
//
，

又∵
平面

，

∴
//平面
………………………………………14分

19. (本小题满分14分)

解：（1）∵
，且
成等比数列，

∴
，即
， ……………………………………………2分

∴
………………………………………………4分

又∵
∴
…………………………………6分

（2）∵
， ①

∴
，即
，

又
， ②

①②得
……………………………………………9分

∴
，∴
，……………………………………11分

则

……………………………………………14分

20.（本小题满分14分）

解：（1）由题意得
……………………………………………2分

∴椭圆
的方程为
…………………………………………3分

（2）设

由题意知直线
的斜率存在，不妨设其为
，则直线
的方程为
。……4分

故点
到直线
的距离为
，又圆
：
，

∴
……………………………………………5分

又
，∴直线
的方程为

由
，消去，整理得
，

故
，代入
的方程得

∴
………………………………7分

设△
的面积为
，则

∴
………………12分

当且仅当
，即
时上式取等号。

∴当
时，△
的面积取得最大值
，

此时直线
的方程为
……………………………………………14分

21. （本小题满分14分）

（1）解：函数
的定义域为

，令
，得
…………………………2分

当变化时，
，
的变化情况如下表：























极小值







所以函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
……………4分

（2）证明：当
时，
。设
，令

由（1）知
在区间
内单调递增。 …………………………6分

故存在唯一的
，使得
成立。 …………………………8分

（3）证明：∵
，由（2）知，
，且
，

∴
…………………………10分

其中，
，要使
成立，只需
。 …………………………12分

当
时，若
，则由
的单调性，有
，矛盾。

所以
，即
，从而
成立。 ………………………………13分

∴当
时，
成立。 ………………………………14分

注：如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分。..............