命题人：杨超群 审题人：樊智能

总分150分 时量：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．设非空集合P、Q满足
，则（ ）

A．
B．
，有

C．
，使得
D．
，使得

2．已知
，其中
是实数，是虚数单位，则
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设随机变量
服从正态分布N (3，7)，若
，则a =（ ）A．1 B．2 C．3 D．4

4．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（ ）

A．4+
B．4+
C．4+
D．4+

5．如右上图，已知
为如图所示的程序框图输出的结果，二项式
的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为 ( )

A． B．
C．
D．

6．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件为“x +y为偶数”， 事件为“x ，y中有偶数且“
”，则概率
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．正项等比数列
中，存在两项
使得
，且
，则
的

最小值是( )

A．
B．2 C．
D．

8．设
满足约束条件
，若
恒成立，则实数的最大值为( )

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
是偶函数，且
，当
时，
，则方程
在区间
上的解的个数是（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

10.在平面直角坐标系中，定义
为
两点之间的“折线距离”。在这个定义下，给出下列命题：

①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；

②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；

③到点
两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是
；

④到点
两点的“折线距离”的差的绝对值为1的点的集合是两条平行线。

其中真命题有 （ ）

A．1个 B。2个 C。3个 D。4个

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题
分，共
分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．

（一）选做题（请考生在11，12，13三题中任选两题作答，并将所选题对应的方框涂黑，如果全选，则按前两题记分）

11．（选修4-1：几何证明选讲）已知圆0的半径为3，从圆0外

一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2
，

AB＝3，则切线AD的长为＿＿＿

12．（选修4-4：坐标系与参数方程）

已知曲线
的极坐标方程分别为
，

，则曲线
与
交点的极坐标为 ．

13．（选修4-5：不等式选讲）若
的最大值是 。

（二）必做题（14—16题）

14．已知函数
(
)的图象如下图所示，

它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)

的面积为，则a的值为 ．

15．设
是椭圆
的两个焦点，为椭圆上任意一点，当
取最大值时的余弦值为
． 则椭圆的离心率为 ．

16．已知
，对于U，V
，
表示U，V中相对应的元素不同的个数。

（1）令U=（2013，2013，2013，2013，2013），存在
，使得
=2。则m= ；

（2）令
，若
之和为

三、解答题：本大题共6小题，共
分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)已知向量
．记

(I)求
的周期；

(Ⅱ)在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a—c)
B=b
， 若
，试判断ABC的形状．

18．（本题满分12分）某校要用三辆校车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为
，不堵车的概率为
；校车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为
．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．

（Ⅰ）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为
，求走公路②堵车的概率；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数
的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
为
的中点。

（I）点
在线段
上，
，试确定的值，使
平面
；

（II）在（I）的条件下，若平面
平面ABCD，求二面角
的大小。

20．（本题满分13分）两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧

上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离x km，建在C处的垃圾处理厂对城A、B的总影响度为y，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧
的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065

（Ⅰ）将y表示成x的函数；

（Ⅱ）讨论（Ⅰ）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由。

21．（本题满分13分）已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的差等于1．

（I）求动点的轨迹
的方程；

（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线
，设
与轨迹
相交于点
，
与轨迹
相交于点
，求
的最小值．

22．（本题满分13分）已知函数
在
处的切线的斜率为1．

（为无理数，
）

（Ⅰ）求的值及
的最小值；

（Ⅱ）当
时，
，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：

．（参考数据：
）

益阳市箴言中学2014年第九次模拟考试理科数学答案及解析

1．【解析】
故选B．

2．【解析】
故选D．

3．【解析】由题意知对称轴为
，故选C．

4．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分
，所以该几何体的体积为
．故选A．

8．【解析】作出可行域，由
恒成立知

令
，由图可知，当直线
与椭圆
相切时，最小，消得：
得
∴
．故选C．

9．【解析】由题意可得
，函数的周期是4， 可将问题转化为

与
在区间
有几个交点． 如图：由图知，有9个交点．选B．

11．【解析】由已知得
，
，解得
．

17．17.解：

（I）

（Ⅱ 根据正弦定理知：

∵
∴
或

或

而

，所以
，因此ABC为等边三角形.……………12分

18．【解答】（Ⅰ）由已知条件得
， 即
，则
． （Ⅱ）解：
可能的取值为0，1，2，3．

；
；

；

的分布列为：

0

1

2

3

















所以

．

１9．解： （1）当
时，
平面

下面证明：若
平面
，连
交
于

由
可得，
，

．．．．．．．．．２分

平面
，
平面
，平面
平面
，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

即：

．．．．．．６分

（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD。．７分

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，

四边形ABCD为菱形，

∵AD=AB， ∠BAD=60°△ABD为正三角形，

Q为AD中点， ∴AD⊥BQ．．．．．．．．．．．．８分

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为

轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为

A（1，0，0），B（
），Q（0，0，0），P（0，0，
）

设平面MQB的法向量为
，可得
，

取z=1，解得
………10分

取平面ABCD的法向量
设所求二面角为
，

则
故二面角
的大小为60°．．．．．．．．．．．．．．１２分

20. （1）如图,由题意知AC⊥BC,
,

其中当
时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为

（2）
,
,令
得
,所以
,即
,当
时,
,即
所以函数为单调减函数,当
时,
,即
所以函数为单调增函数.所以当
时, 即当C点到城A的距离为
时, 函数
有最小值.

（II）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，则
的方程为
．

由
，得

设
则
是上述方程的两个实根，于是

．

因为
，所以
的斜率为
．

设
则同理可得

故

当且仅当
即
时，
取最小值16．