本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分。考试时间120分钟。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh

如果事件A，B相互独立，那么 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高

P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中s表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高

棱台的体积公式

球的表面积公式

第I卷（选择题，共50分）

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知i是虚数单位，那么

A．i B．-i C．1 D．-1

2．命题“
”的否定为

(A)
(B)

(C)
(D)

3. 设向量
与
的夹角为
，
=（2，1），
+3
=（5，4），则
=

.
.

.
.

4．以双曲线
的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是

（A）
(B)

(C)
(D)

5．化简
的结果为

A.
B.
C.
D.

6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A．
B．

C．
D．

7．若函数f ( x ) = min {3 + log
x ,log2 x}，其中min{p，q}表示p，q两者中的较小

者，则f ( x )＜2的解集为

A．（0，4） B．（0，+∞）

C．（0，4）∪（4，+∞） D．（
，+∞）

8．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且
，若直线PA的方程为
，则直线PB 的方程是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9. 北京奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员，两队之间共需进行五场比赛，其中一场双打，四场单打，每名队员都需比赛两场（双打需两名队员同时上场比赛），要求双打比赛必须在第三场进行，若打满五场，则三名队员不同的出赛顺序安排共有

（A）144 （B）72 （C）36 （D）18

10. 已知
，
都是定义在上的函数，且满足以下条件：①
=
·
（
）；②

；③
。若
，则使
成立的x的取值范围是

（A）（，
）∪（，+∞ ） （B）（，
）

（C）（－∞，
）∪（，+∞ ） （D）（，+∞ ）

二.填空题：每小题4分, 共24分.

11．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝_____________________

12．由曲线
所围成的图形面积是 .

13．右图所示的程序框图的输出结果为

14．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为 万元．

15．如图AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=4，PB=2。则⊙O的半径等于 ；

16．在直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程是
（
是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线
的极坐标方程可写为________________.

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知向量

（1） 求
的值；

（2）若
的值.

18．（本小题满分12分）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为
，遇到红灯（禁止通行）的概率为
。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，
表示停车时已经通过的路口数，求：

(1)
的概率的分布列及期望E
;

(2 ) 停车时最多已通过3个路口的概率。

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠
， AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；

（Ⅱ）设
，

求k的值.

20．（本小题满分12分）

已知数列
中，
，且当
时，函数
取得极值。

（Ⅰ）求数列
的通项；

（Ⅱ）在数列
中，
，
，求
的值

21．（本小题满分14分）

已知定点A（－2，0），动点B是圆
（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P.

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）是否存在过点E（0，－4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足
（O为原点），若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）函数
是定义在R上的偶函数，且
时，
，记函数
的图像在
处的切线为，
。

(Ⅰ) 求
在
上的解析式；

(Ⅱ) 点列
在上，
依次为x轴上的点，如图，当
时，点
构成以
为底边的等腰三角形。若
，求数列
的通项公式；

(Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下，是否存在实数a使得数

列
是等差数列？如果存在，写出的一

个值；如果不存在，请说明理由。

数学试卷（参考答案）

一、选择题：

……4分

…………5分

…………6分

18. 解：（I）
的所有可能值为0，1，2，3，4

用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，

则P（AK）=
独立.

故

从而
有分布列：

0 1 2 3 4

P

(II)

答：停车时最多已通过3个路口的概率为
.

由E是PC中点,得EH∥PA, PA⊥平面ABCD.

得EH⊥平面ABCD，且EH
.…………………………………………8分

作HM⊥BD于M，连结EM，由三垂线定理可得EM⊥BD.

故∠EMH为二面角E—BD—F的平面角，故∠EMH=600.……………………10分

∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,

故
.

得
, 得
.

在Rt△EHM中，

得
………………………………………………………12分

解法2：（Ⅰ）证明，以A为原点，

建立如图空间直角坐标系
.

则
，
，

设PA = k,则
,

,
.………………………………………………………2分

得

.…………………………4分

有
………………6分

(Ⅱ)
…7分
.

设平面BDE的一个法向量
，

则
得
取
……………10分 由

………………………………………11分

得
…………………12分 20.

20解：（Ⅰ）
由题意
得
， …………6分

又
所以 数列
是公比为
的等比数列 所以
…………8分

（Ⅱ） 因为
， …………10分

所以
，
，
，……，

叠加得
把
代入得
=
…………13分

21. 解：（1）由题意：∵|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8

∴|PA|+|PF|=8>|AF|

∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆…………………………3分

设方程为

………………………5分

（2）假设存在满足题意的直线l，其斜率存在，设为k，设

22. 解：(Ⅰ)函数
是定义在R上的偶函数，且

；
是周期为2的函数 …………1分

由
可知=-4
，
…………4分

(Ⅱ)函数
的图像在
处的切线为，且
，