本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分。考试时间120分钟。

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么 棱柱的体积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh

棱锥的体积公式 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高

球的表面积公式

其中s表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高

第I卷（选择题，共50分）

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
=

A．
B．
C．
D．

2．已知命题

A．
B．

C．
D．

3．向量
=（1，-2），=（6，3），则
与的夹角为

A．
B．
C．
D．

4．已知i是虚数单位，那么

A．i B．-i C．1 D．-1

5．已知两条直线
，两个平面
，给出下面四个命题：

①
②

③
④

其中正确命题的序号是

A．①③ B．②④ C．①④ D．②③

6． 函数

的部分图象如图，则

A．＝
，＝
B．＝
,＝

C．＝
,＝
D．＝
,＝

7. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角

三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为

A．
B．

C．
D．

8. 以双曲线
的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是

（A）
(B)

(C)
(D)

9. 设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且
，若直线PA的方程为
，则直线PB 的方程是 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如
定义函数

则下列命题中正确的是

A．
B．方程
有且仅有一个解

C．函数
是周期函数 D．函数
是增函数

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．等差数列
的前项和为
，若
．

12．右图所示的程序框图的输出结果为

13．若x、y满足
的最大值是 .

14．某人5次下班途中所花的时间（单位：分钟）分别为m，n，5，6，4。已知这组数据的平均数为5，方差为2，则︱m－n︱的值为 .

15．如图AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=4，PB=2。则⊙O的半径等于 ；

16．函数
对于任意实数满足条件
，若
，则
= 。

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知向量
,函数

（1）求
的最小正周期;

（2）当
时, 若
求的值．

18．（本小题满分12分）

已知函数
，常数

（1）讨论函数
的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数
在
上为增函数，求的取值范围．

19．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F

分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；

（3）求三棱锥C－BEP的体积．

20．（本小题满分14分）

设
是公比大于1的等比数列，
为数列
的前项和．已知
，且

构成等差数列．

（1）求数列
的通项；

（2）令
求数列
的前项和
．

21．（本小题满分14分）

已知动圆过定点
，且与直线
相切.

（1）求动圆的圆心轨迹
的方程；

（2）是否存在直线
，使
过点（0，1），并与轨迹
交于
两点，且满足

？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.

22．（本小题满分14分）

已知
，且三次方程

有三个实根
．

（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；

（2）若
，
在
处取得极值且
，试

求此方程三个根两两不等时的取值范围．

一、选择题（每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

A

B

D

C

C

A

D

A

 C





二、填空题（每小题5分，共20分）

11. 8 ； 12. 8

13. 3 ； 14. 4 15. 3 16.

三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.解：（1）
…………………………1分

. ………………………………………4分

函数
既不是奇函数，也不是偶函数……6分

（2）解法一：要使函数
在
上为增函数等价于
在
上恒成立 ………8分

即
在
上恒成立，故
在
上恒成立

∴
…………………………………10分

∴ 的取值范围是
………………………………12分

解法二：设

………8分

要使函数
在
上为增函数，必须
恒成立

，即
恒成立 …………………………………10分

∴CD⊥平面ADP

又AF平面ADP ∴CD⊥AF ……………………………… 6分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°

∴△PAD为等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2 ………………………… 7分

∵F是PD的中点∴AF⊥PD，又CD
PD=D∴AF⊥平面PCD …… 8分

∵AF∥EG ∴EG⊥平面PCD 又EG平面PCE平面PCE⊥平面PCD … 10分

（3）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE ……………………………11分

PA是三棱锥P－BCE的高， Rt△BCE中，BE=1，BC=2，∴三棱锥C－BEP的体积VC－BEP=VP－BCE=
… 12分

20.解：（1）由已知得
解得
．…………………1分

又

是首项为
公差为
的等差数列 …12分

…14分

21．解：（1）如图，设
为动圆圆心，
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，由题意知：
……2分

即动点
到定点与到定直线
的距离相等，

由抛物线的定义知，点
的轨迹为抛物线，其中
为焦点，

为准线，∴动圆圆心的轨迹方程为
………5分

（2）由题可设直线
的方程为

又
， ∴ 直线
存在，其方程为
……………14分

22.解：（1）由已知，得
，比较两边系数，

得
． ……………………4分

（2）令
，要
有三个不等的实数根，则函数
有

一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0． …………5分

由已知，得
有两个不等的实根
，

，
得
．……… 6分

又
，
，将
代入（1）（3），有
，又

．
， ………8分

则
，且
在
处取得极大值，在
处取得极小值10分