一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、在区间
之间随机抽取一个数，则满足
的概率为（ ）

A、
B、
C、
D、

2、设
，是虚数单位，则“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3、在等差数列
中，首项
，公差
，若
，则
（ ）

A、22 B、23 C、24 D、25

4、若
，则有（ ）

A、
B、
C、
D、

5、阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）

A、3 B、13 C、33 D、123

6、已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A、
B、

C、
D、

7、函数
的部分图

象如图所示，为了得到
的图象，只需将
的图象

（ ）

A、向右平移
个单位 B、向右平移
个单位

C、向左平移
个单位 D、向左平移
个单位

8、设变量
满足：
，则
的最大值为（ ）

A、3 B、8 C、
D、

9、已知函数
其中
，则下列说法正确的是（ ）

A、
有且只有一个零点 B、
至少有两个零点

C、
至多有两个零点 D、
一定有三个零点

10、已知椭圆
的左右焦点分别为
，若椭圆
上恰好有6个不同的点，使得
为等腰三角形，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

第II卷 非选择题（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填写在答题卡中相应题号的横线上。

11、设集合
，则

。

12、为了了解高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，

将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）。已知

图中从左到右的前3个小组的频率之比为
，第2小组

的频数为12，则抽取的男生人数是 。

13、函数
的零点个数为 。

14、已知圆
，直线
，若圆
上恰有三个点到直线
的距离等于1，则正数
。

15、将一个长宽分别是
的铁皮的四角切法相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则
的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16、（本题满分13分，第1问5分，第2问8分）

某产品的三个质量指标分别为
，用综合指标
评价该产品的等级。若
，则该产品为一等品。现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：

产品编号













质量指标（
）













产品编号













质量指标（
）













（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，

（i）用产品编号列出所有可能的结果；

（ii）设事件为“在取出的2件产品吕，每件产品的综合指标
都等于4”，求事件发生的概率。

17、（本题满分13分，第1问7分，第2问6分）

已知函数
在
处取得极值
，其中、
为常数。

（1）试确定、
的值；

（2）讨论函数
的单调区间。

18、（本题满分13分，第1问6分，第2问7分）

设
，函数
，满足
。

（1）求
的单调递减区间；

（2）设锐角
的内角、、
所对的边分别为、
、，且
，求
的取值范围。

19、（本题满分12分，第1问5分，第2问7分）

如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4的正方

形，
是正三角形，平面
分

别是
的中点。

（1）求证：平面
；

（2）若
是线段
上一点，求三棱锥
的体积。

20、（本题满分12分，第1问6分，第2问6分）

单调递增数列
的前项和为
，满足
，

（1）求
，并求数列
的通项公式；

（2）设

，求数列
的前20项和
。

21、（本题满分12分，第1问2分，第2问4分，第3问6分）

如图：已知椭圆
的离心率为
，以

椭圆的左顶点为圆心作圆
，设圆

与椭圆
交于点
、
。

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的最小值，并求此时圆的方程；

（3）设点是椭圆
上异于
的任意一点，且直线
，

分别与轴交于点
为坐标原点。试问是否存在使
最大的点，若存在求出点的坐标，若不存在说明理由。