重庆南开中学高2014级高三二诊模拟考试

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、设是虚数单位，则复数
的虚部是（ ）

A、
B、
C、
D、

2、已知命题
，命题
，则（ ）

A、命题
是假命题 B、命题
是真命题

C、命题
是真命题 D、命题
是假命题

3、已知等比数列
的公比
，且
成等差数列，则
的前8项和为（ ）

A、127 B、255 C、511 D、1023

4、若
展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）

A、180 B、120 C、90 D、45

5、已知菱形
的边长4，
，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（ ）

A、
B、
C、
D、

6、若抛物线
上一点到焦点和轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为（ ）

A、
B、

C、
或
D、
或

7、某程序框图如图所示，现分别输入下列四

个函数
，则可以输出
的是（ ）

A、

B、

C、

D、

8、已知
的三个内角
所对的边分别为
，若
且
，则
（ ）

A、
B、

C、
D、

9、已知某几何体的三视图如图所示，过该几

何体最短两条棱的中点作平面，使得平

分该几何体的体积，则可以作此种平面

（ ）

A、恰好1个

B、恰好2个

C、至多3个

D、至少4个

10、数列

满足：
，其中
，
，其中
，则满足条件的数列
的项数的最大值为（ ）

A、4025 B、4026 C、
D、

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。

11、随机变量
服从正态分布
，且
。

12、若
，且
，

则
的最小值为 。

13、等边
的边长为2，取各边的三等分点并连线，

可以将
分成如图所示的9个全等的小正三角形，

记这9个小正三角形的重心分别为
，

则
。

考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

14、如图，
是圆
的直径，过、的两条弦

和
相交于点，若圆
的半径是2，那么

的值等于 。

15、直线
（为参数）与圆
（
为参数）相交所得的弦长的取值范围是 。

16、已知函数
。若关于的不等式
的解集是，则的取值范围是 。

三、解答题：本大题6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本题满分13分，第（1）问5分，第（2）问8分）

为了参加首届中学生合唱比赛，学校将从
四个班级中选出18名学生组成合唱团，学生来源人数如下表：

班级

班

班


班

班



人数

4

6

3

5



（1）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班级的概率；

（2）若要求选出两名学生作为学生领唱，设其中来自班的人数为
，求随机变量
的分布列，及数学期望
。

18、（本题满分13分，第（1）问5分，第（2）问8分）

已知函数
。

（1）求函数
在点
处的切线方程；

（2）当
时，求函数
的单调区间和极值。

19、（本题满分13分，第（1）问6分，第（2）问7分）

已知函数
的图像上的一个最高点
，与该最高点最近的一个最低点是
。

（1）求函数
的解析式及其单调增区间；

（2）在
中，角
所对的边分别为
，且
，角的取值范围是区间
，当
时，试求函数
的值域。

20、（本题满分12分，第（1）问6分，第（2）问6分）

直四棱柱
中，底面
为菱形，且
，
，为
的延长线上一点，
，设
。

（1）求二面角
的大小；

（2）在
上是否存在一点，使
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由。

21、（本题满分12分，第（1）问4分，第（2）问8分）

如图，焦点在轴上的椭圆
与焦点在轴上的椭圆
相切于点
，且椭圆
与
的离心率均为
。

（1）求椭圆
与椭圆
的方程；

（2）过点
引两条互相垂直的两直线
、
，与两椭圆
，
分别交于点
与点
（均不重合）。若
，求
与
的方程。

22、（本题满分12分，第（1）问4分，第（2）问8分）

设集合
，若存在非空集合
，使得
，且集合的所有元素之和等于集合
的所有元素之和，则称集合为“最强集合”。

（1）若“最强集合”
，求的所有可能值；

（2）若集合的所有
元子集都是“最强集合”，求的最小值。