衡阳市2014届高中毕业班联考(三)

数学(理科)(试题卷) 2014.5.7.

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟

第I卷 (选择题 共50分)

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A= {0 ，a} ，B ={

Z | | x | <2 } ，则“a= 1”是“A
B”的 ( )

A.充要条件 B. 必要不充分条件 C .充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

2. 阅读程序框图.如果输出的函数值在区间
内，则输入的实数
的取值范围是 ( )

A. [-2，2] B. [0，2] C. [-2，-1] D. [-2，0]

3. 设随机变量
服从正态分布
,若
,则
( )

A．3 B．
C．5 D．

4.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为： （ ）

A.
B.
C.
D.



第2题图 第4题图

5. 函数
，等比数列
中，
，
（ ）

A. -9 B. -8 C. -7 D. -10

6. 设
则二项式
的展开式中x2项的系数是

A. -1120 B. 1120 C. -1792 D. 1792

7. 一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的
点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积
关于时间
的函数为
，则下列图中与函数
图像最近似的是

8.设双曲线
(a>0)与直线
相交于两个不同点，则双曲线的离心率e的取值范围为 ( )

A.
B.
C.
D.

9.已知点O是△ABC所在平面内的一点 ( O不在直线BC上 )，且
=
+

当
=3 ，
=
，则△ABC与△OBC的面积之比为 ( )

A .
B.
C .
D. 4

10. 设函数
若a>b>1,且f (a)=f (b) ,则
的取值范围为（ ）

A.(-2,3) B.(-2,2) C.( 1,2 ) D.

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、选择题:本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分

(一)选做题(请考生在第10、11、12三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)

11．极坐标系中，圆
：
的圆心到直线
的距离是_______________.

12.若
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 。

13. 如右图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线
，过A作直线
的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 ．

(二)必做题(14-16题)

14. 已知
为虚数单位，复数
，
为其共轭复数，则
等于 ．

15.已知
满足约束条件
，则
的最小值是 ．

16. 设数列
共有
项
,且
，对于每个
均有
。

当
时，满足条件的所有数列
的个数为___________;

当
时，满足条件的所有数列
的个数为___________;

三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. (本小题满分12分)已知函数
．

(Ⅰ)求
的最小正周期和值域；

(Ⅱ)若

为
的一个零点，求
的值．

18.(本小题满分12分)

某学校为响应省政府号召，每学期派老师到各个民工子弟学校支教，以下是该学校
名老师上学期在某一个民工子弟学校支教的次数统计结果：

支教次数











人数













根据上表信息解答以下问题：

（1）从该学校任选两名老师，用
表示这两人支教次数之和，记“函数
在区间
上有且只有一个零点”为事件
，求事件
发生的概率
；

（2）从该学校任选两名老师，用
表示这两人支教次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列及数学期望
．

19.(本小题满分12分)

如右图，在梯形
中，
∥
，
，
，

四边形
为矩形，平面
⊥平面
，
．

(1) 求证：
⊥平面

(2) 若点
在线段
上移动，试问是否存在点
，使得平面
与平面
所成的二面角为
，若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．

20.(本小题满分13分)

某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间
（秒）的变化规律大致可用
（
为时间参数，
的单位：
）来描述，其中地面可作为
轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为
轴。

（1）试求此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；

（2）若在一建筑物前计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个这样的喷泉，则如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

21.(本小题满分13分)

已知点
和圆
AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P(异于A、B)是圆0上的动点，
交AB于D，

，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN| 为定值。

(1).求
的值及点C的轨迹曲线E的方程.

(2)若点Q、R是曲线E上不同的的点，且PQ、PR与曲线E相切,求△OQR面积的最小值.

22. (本小题满分13分)

设函数
，其图象与
轴交于
，
两点，且x1＜x2．

（1）求
的取值范围；

（2）证明：
（
为函数
的导函数）；

（3）设点C在函数
的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记
，求
的值．

衡阳市2014届高中毕业班联考(三) 数学(理科)

参考答案及评分细则

本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟

第I卷 (选择题 共50分)

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 .【答案】C

【解析】因B={-1，0 ，l } ，a = 1 则A= {O ，l } 所以A
B . 反之“A
B”
“ a= 1 ”

2.【答案】D

【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数：

的函数值．

又∵输出的函数值在区间
内，∴x∈[-2，0]

3.【答案】D

【解析】因为
服从正态分布
，
故选D

4.【答案】D

【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为：

5. 【答案】A

【解析】因为

6.【答案】B

【解析】由题意
，所以二项式为
，设展开式中第
项为

所以
，令
，解得
。代入得
的系数为：
＝1120

7.【答案】B

【解析】视角一:观察载体图:重叠部分面积始终不为0，排除C。因圆的最初位置的重叠部分面积最大，故面积是由最大开始减少的，排除A。由最初位置，圆滚动时露在三角形外的弓形面积每相同前移动量增加就越多，是非线性的，排除D。故选B.

视角一:函数图像应具以下特征:周期性变化，函数值不为0，从初始位置开始是先减少的，非线性变化，故选B。

视角三:从最多共性入手，从初始位置开始函数值是先减少的有B、C、D，非线性的有A、B、C，函数值不为0的有A、B、D，可见共性最全的只有B，故选B.

8. 【答案】A

【解析】依题由
有两个不同的的解，消去y整理得

,又
解得
且
,

又
且
即离心率e的取值范围为

9.【答案】C

【解析】设直线AO交直线BC于点P，且因为点B、C、P共线，

所以可设
=
+ (l-x)
又因为点A、O、P三点共线，
可设
=t
所以由
=
+
及
=
+ (l
x)
得
解得t =
+
,所以
=(
+
)
。

又因为
=


=

(
+
)
=

，

所以|
|=|
|.|
| 。所以
,故选C .

10.【答案】D

【解析】作出函数f(x)的图象，得
由a>b>1,且f(a)=f(b),得

整理得
,

设
则
=

1=
,

，
,所以

第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、选择题:本大题共6小题，考生只作答5小题，每小题5分，共25分

(一)选做题(请考生在第10、11、12三题中任选两题作答，如果选做，则按前两题记分)

11.【答案】

【解析】：圆O：
，圆心O：
，直线：

圆心到直线的距离：

12.【答案】

【解析】因为(|x|+|x-1|)的最小值为l，所以
，

13.【答案】4

【解析】连接AC，则AC⊥BC．由条件得AC＝4
,

∠DCA=60°，所以DC＝2
,，DA=6．由切割线定理，

求得DE＝2，可得AE=AD-DE?=4

(二)必做题(13-16题)

14. 【答案】

15.【答案】

【解析】

解法一：
令
则问题转化为在
条件下求
的最小值。如图所示
则

解法二：由柯西不等式
，由
可知
，

当且仅当
即
时取“＝”号。

16.【答案】（1）3个 （2）393个

【解析】（1）当
时，因为
，
，

所以
，
，所以
或
或

所以满足条件的所有数列
的个数为3个；

(2)令
，则对每个符合条件的数列
满足条件

，且