2014年(春)高三考前模拟测试卷

数学（文史类） 参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1～5 ADBAC 6～10 ACDAA

（10）提示：由题得
，又
三点共线，

则
，∴
，即

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）
（12） （13）
（14）
（15）

（15）提示：如右图所示，设直线
与曲线
交于
两点，
的大小为
，

∴
的面积

扇形
的面积

∴阴影部分面积

∴

显然
，且
关于
递增，易得当
时，

，此时
；当
时，
，此时
；∴

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题得，
这一组的频率为
……………3分

∴
……………6分

（Ⅱ）由题得，
这一组的工人有
人，

这一组的工人有
人……………9分

从这两组中抽取位工人共有
种不同的结果，其中位工人不同组的结果有
种，

∴位工人不同组的概率为
………………13分

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
…………4分

；…………6分

（Ⅱ）

…………3分

所以

，

由函数
的图象知，要有两个不同的实数解，需
，即
． ……13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由题得
…………3分

解得
，
………………………………………5分

∴
……………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
…………………8分

∴
……………………………10分

∴

……………………12分

∴
………………13分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连接
、
，题得由
，

，
………3分

∴
，即
同理，

∴
平面
…………………6分

（Ⅱ）过点
作
交
于点
，∵
，

∴
，∴
为等腰直角三角形，

，又
，∴
，

四边形
为平行四边形………………9分

∴
，又
平面
，∴
平面
……………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
…………2分

∵
在
内单调递增，∴
在
内恒成立，

即
在
内恒成立，即
在
内恒成立…………4分

又函数
在
上单调递增，∴
…………………6分

（Ⅱ）考查
的单调性，令
，即

∴
或
，即
或
（）

∵
单调递增，设方程
的根为

①若
，则不等式组（）的解集为
和
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，与
在
处取极小值矛盾；

②若
，则不等式组（）的解集为
和
，此时
在上单调递增，与
在
处取极小值矛盾；

③若
，则不等式组（）的解集为
和
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，满足
在
处取极小值，

由
单调性，

综上所述，
………………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题得
，
，联立
解得
，
，
，

∴椭圆方程为
…………………4分

（Ⅱ）方法一：设
，由
可得
.

∵点
在椭圆上，故

整理得：
……………6分

又点在椭圆上可知
，故有
……①

由
，同理可得：
……②

②-①得：
，即
…………………9分

又
∥
，故

∴直线
的方程为：
，即
.

由
可得：

∴是
的中点，即点平分线段
…………………12分

（Ⅱ）方法二：∵
，
，∴
，即

在梯形
中，设
中点为
，
中点为
，

过作
的平行线交
于点

∵
与
面积相等，∴

∴
，
，三点共线………………6分

设
，

∴
，
，

两式相减得
，

显然
，（否则
垂直于轴，因
不在轴上，此时
不可能垂直于轴保持与
平行）且
（否则
平行于轴或经过原点，此时
，
，三点不可能共线）

∴

设直线
斜率为
，直线
斜率为

∴
，即
…… ①

设直线
斜率为
，直线
斜率为

同理，
，又
，∴
即
三点共线………8分

∴
四点共线，∴
，代入①得
……………9分

∴直线
的方程为
即

联立
得

∴点平分线段
……………………12分