2014年(春)高三考前模拟测试卷

数学（理工农医类） 参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1～5 AACDA 6～10 CDAAB

（10）提示：由题知，
，
，
，

，

又

故选B．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）
（12） （13）
（14） （15）
（16）

（13）提示：如右图所示，设直线
与曲线
交于
两点，
的大小为
，

∴
的面积

扇形
的面积

∴阴影部分面积

∴

显然
，且
关于
递增，易得当
时，

，此时
；当
时，
，此时
；∴

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
…………4分

；…………6分

（Ⅱ）

…………3分

所以

，

由函数
的图象知，要有两个不同的实数解，需
，即
．……13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
； ……6分

（Ⅱ）由题知，
的取值为
，分布列如下：





















……………………11分

．……13分

（19）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）建立空间直角坐标系如图所示,则
，

………………3分

又

平面
；……6分

（Ⅱ）由题知
，
，
，

，

平面
的一个法向量为
……9分

即
解得
．……13分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）

，……………………2分

显然当
时，
，
，当
时，
，

在
上单减，在
上单增；……6分

（Ⅱ）
，令
，

则
，
在
上单减，在
上单增，

而
，所以
与轴有两个不同的交点，不妨记为
，

若
在
处取得极小值，则
在包含的某个区间内恒正，即
或
，

所以
，即

．……12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题知，
且
即
，椭圆
的方程为
；……4分

（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，必有
，此时
，
…………5分

当直线
的斜率存在时，设其斜率为、点
，则

与椭圆
联立，得
，设
，

则
即
………………8分

又

………………9分

综上，无论怎样变化，
的面积为常数
．………………12分

（22）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故个不同位置的“旋转和”的和为

； ……3分

（Ⅱ）设内盘中的和外盘中的
同扇形格时的“旋转和”为

则

………………5分

所以当
时，
，当
时，
，所以
时，
最小

最小值

；…………8分

（Ⅲ）证明：将图中所有非
数改写为，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为
，则此位置的“旋转和”必大于或等于
，初始位置外的
个位置的“旋转和”的和为

，则有
，即
，这与
矛盾，故命题得证．……12分