甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试文科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,请将答案填在答题卡相应位置上．

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．

1．设
，则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

2．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝(　　)．

A．
＋i B．
C．
D．

3．设
，
，
，则（　　）．

A．

a＜b＜c

B．

c＜b＜a

C．

c＜a＜b

D．

b＜a＜c



4．在等差数列
中，
=
,则数列
的前11项和
=（ ）．

A．24 B．48 C．66 D．132

5．设
,则
是
的（ ）．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是（　　）．

A．
B．
C． D．

7．某程序框图如图所示，若输出的
，则判断框内应填入(　　)．

? B．
? C．
? D．
?

8． 函数f(x)＝sin xcos x＋
cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　　) ．

A．π，1　　 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2

9．已知
是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是( )．

A．
B．
C．
D．

10．如图，F1，F2是双曲线C1：
与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是（ 　 ）．

A．
B．
C．
D．

11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积
为（ ）．

A．
　B．
C．
　D．

12．已知定义在上的函数
是奇函数且满足
，
，数列
满足
，且
,（其中
为
的前项和），则
( ) ．

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（主观题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卡的横线上．

13．已知向量
，
，若

，则
在
处的切线方程为为 ．

14．在
中，角、、的对边分别是、、，若
，
，
，则角的大小为 ．

15．在三棱柱
中侧棱垂直于底面，
，
，
，且三棱柱
的体积为3，则三棱柱
的外接球的表面积为 ．

16．已知函数
为奇函数，且对定义域内的任意x都有
．当
时,
, 给出以下4个结论：①函数
的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称；②函数
是以2为周期的周期函数；③当
时，
;④函数
在(k，k+1)( kZ)上单调递增，则结论正确的序号是 ．

三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列
，等比数列
，满足
，
，
．

（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；

（Ⅱ）若
，求数列{
}的前n项和．

18．（本小题满分12分）已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点．

(Ⅰ)求证：BC1∥平面CA1D；

(Ⅱ)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；

(Ⅲ)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=

求三棱锥B1-A1DC的体积．

19．(本小题满分12分) 随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到
列联表如下：

室外工作

室内工作

合计



有呼吸系统疾病

150







无呼吸系统疾病



100





合计

200







（Ⅰ）补全
列联表；

（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；

（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率．

参考公式与临界值表：K2＝

P(K2≥k0)

0．100

0．050

0．025

0．010

0．001



k0

2．706

3．841

5．024

6．635

10．828





20． (本小题满分12分) 已知椭圆
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆C相交于A、B两点，且
，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

21．(本小题满分12分) 已知函数
，其中a为常数．

（Ⅰ） 当
时，求
的最大值；

（Ⅱ）若
在区间（0，e］上的最大值为
，求a的值；

（Ⅲ） 当
时，试推断方程
=
是否有实数解．

四、选考题（本题满分10分）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．《选修4-1：几何证明选讲》

如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．

（Ⅰ）求∠ADF的度数；

（Ⅱ）若AB＝AC，求AC∶BC．

23．《选修4-4：坐标系与参数方程》

在平面直角坐标系
中，已知直线的参数方程是
（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
．

（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）由直线上的点向曲线
引切线，求切线长的最小值．

24．《选修4-5：不等式选讲》

已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）若a，b，c∈R+，且＋＋＝m，求a＋2b＋3c的最小值．

数学（文）答案

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一选择题

1.C 2. C 3.A 4.D 5.A 6.B　7.D 8.A 9.B 10.B 11.B 12.C

二填空题

13.
14.
15.
16. ①②③

三解答题

17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列
，等比数列
，满足
，
，
；

（Ⅰ）求数列
的通项公式

（Ⅱ）若
，求数列{
}的前n项和。

解析：（Ⅰ）（1）

……………………….6分

…………………9分

………………12分

18．（本小题满分12分）

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点

(1)求证：BC1∥平面CA1D

(2)求证：平面CA1DC⊥平面AA1B1B

(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=
求三棱锥B1-A1DC的体积

证明（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE

因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点

又D是AB的中点，DE∥BC1，

又DE面CA1D，BC1面CA1D，BC1∥面CA1…………(４分)

证明（2）AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，

又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，

AA1∩AB=A， CD⊥面AA1B1B， CD面CA1D，

平面CA1D⊥平面AA1B1B……………………(８分)

解：
,则（2）知CD⊥面ABB1B， 所以高就是CD=
，BD=1，BB1=
，所以A1D=B1D=A1B1=2,
,
………………(1２分)

19．(本小题满分12分)

随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到
列联表如下：

室外工作

室内工作

合计



有呼吸系统疾病

150







无呼吸系统疾病



100





合计

200







（Ⅰ）补全
列联表，

（Ⅱ）你是否的9５%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.

（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率。

解析:列联表如下

室外工作

室内工作

合计



有呼吸系统疾病

150

200

350



无呼吸系统疾病

50

100

150



合计

200

300

500



 4分

， 7分

所以有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. 8分

采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈，有呼吸系统疾病的抽4人，记为A、B、C、D，无呼吸系统疾病的抽2 人，记为E、F，从中抽两人，共有15种抽法，A=“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”有
种，P(A)=2/5. 12分

20. (本小题满分12分) 已知椭圆
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆C相交于A、B两点，且
，判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

解析：(1)由题意知
，∴
，即
，

又
，∴
，

故椭圆的方程为
4分

(II)设
，由
得

，

，
.

7分

8分

,
,
,

,

12分

21．(本小题满分12分)

已知函数
，其中a为常数.

（Ⅰ） 当
时，求
的最大值；

（Ⅱ）若
在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值；

（Ⅲ） 当
时，试推断方程
=
是否有实数解.

解析：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，

f′(x)=－1+

当00；当x>1时，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，
=f（1）=-1 4分

(2) ∵f′(x)=a+
，x∈(0,e］，
∈

① 若a≥
，则f′(x)≥0， f(x)在(0,e］上增函数

∴
=f（e）=ae+1≥0.不合题意 …5分

② 若a<
，则由f′(x)>0
>0，即0

由f(x)<0
<0，即

∴
=f
=-1+ln

令-1+ln
=-3，则ln
=-2∴
=
，即a=
.

∵
<
,

∴a=
为所求 ……………8分

(3) 由（Ⅰ）知当a=-1时
=f（1）=-1，

∴|f（x）|≥1

又令g（x）=
,g′（x）=
,令g′(x)=0，得x=e,

当00,g(x) 在(0,e)单调递增；当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)单调递减∴
=g（e）=
<1, ∴g(x)<1

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|>
∴方程|f（x）|=
没有实数解. ……12分

22．《选修4-1：几何证明选讲》

如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线交AE于点F，交AB于D点．

（Ⅰ）求∠ADF的度数；

（Ⅱ）AB＝AC，求AC∶BC

解析:　(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.

又知DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB.

∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD

即∠ADF＝∠AFD，又因为