甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试

理科数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,请将答案填在答题卡相应位置上.

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．

1．若

，则
中元素个数为（ ）．

A．0 B．1 C．2 D．3

2．若
，其中
，则
＝（ ）．

A.
＋i B.
C.
D.

3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任
禽流感防御宣传工作,则在选出的宣传者中男、女都有的概率为（ ）．

A.
B.
C.
D.

4．在等差数列
中，
=
,则数列
的前11项和
=（ ）．

A．24 B．48 C．66 D．132

5．设
,则
是
的（ ）．

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6．函数
的最小正周期为（　　）．

A．
　　 B．
　 C．
　　 D．

7．已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式

的展开式中含
项的系数是（ ）．

A．192 B．32 C．96 D．-192

8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积
为（ ）．

A．
B．
C．
　 D．

9．如图，
，
是双曲线
：
与椭圆
的公共焦点，点
是
，
在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则
的离心率是（ 　 ）．

A．
B．
C.
D．

10．已知
是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则
的取值范围是（ 　 ）．

A．
B．
C．
D．

11.若圆C:
关于直线
对称，则由点
向圆所作的切线长的最小值是（ ）

A. 2 B. 4 C. 3 D.6

12．已知定义在上的函数
是奇函数且满足
，
，数列
满足
，且
，（其中
为
的前项和），则
( )．

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（主观题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卡的横线上．

13．在
中，角、、的对边分别是、、，若
，
，
，则角的大小为 .

14.下列结论中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.

①积分
的值为2；②若
，则
与
的夹角为钝角；③若
，则不等式
成立的概率是
；④函数
的最小值为2．

15.若曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为
,则
________.

16. 在三棱锥
中，
，
，
，二面角
的余弦值是
，若
都在同一球面上，则该球的表面积是 .

三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知
的最小正周期为
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）在
，若
,且
,求
的值.

18．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到
三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．

（Ⅰ）求甲、乙两人都被分到社区的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；

（Ⅲ）设随机变量
为四名同学中到社区的人数，求
的分布列和
的值．

19．（本小题满分12分） 如图,在长方体
中,
点在棱
上.

（Ⅰ）求异面直线
与
所成的角；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
,求点到平面
的距离.

20. （本小题满分12分） 已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若直线
与椭圆相交于、两点，且
，试判断
的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．

21.（本小题满分12分）已知
.

（Ⅰ）求函数
在
上的最小值；

（Ⅱ）对一切
恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立.

四、选做题：（本题满分10分）请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22．《选修4-1：几何证明选讲》

如图，已知点在圆直径
的延长线上，
切圆于点，
是
的平分线交
于点，交
于点．

（Ⅰ）求
的度数；（Ⅱ）若
，求
.

23．《选修4-4：坐标系与参数方程》

在平面直角坐标系
中，已知直线的参数方程是
（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为
．

（Ⅰ）写出直线的普通方程与圆
的直角坐标方程；

（Ⅱ）由直线上的点向圆
引切线，求切线长的最小值.

24．《选修4-5：不等式选讲》

已知函数
，m∈R，且
的解集为
．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若
+，且
，求
的最小值.

数学（理）答案

一选择题

B 2. C 3.A 4.D 5.A 6.A　7.D 8.B 9.B 10.B 11.B 12.C

二填空题

13.

14. ①③

15.

16.
. 取
中点，连接
，∵
，∴
，∵
，

∴
，
平面
.∴
为二面角
.在
中，
，
，

∴
.取等边
的中心，作
平面
，过作
平面
，
为外接球球心，

∴
，二面角
的余弦值是
，所以
，
，

∴
，∴
点为四面体的外接球球心，其半径为
，表面积为
.

三解答题

17．（本小题满分12分）已知
的最小正周期为
.

（Ⅰ）当
时，求函数
的最小值；

（Ⅱ）在
，若
,且
,求
的值.

17.【解析】∵

，………2分

由
得
，∴
. ………4分

（Ⅰ）由
得
，

∴当
时，
.………6分

（Ⅱ）由
及
，得
，

而
, 所以
，解得
.………8分

在
中，∵
,
，

∴
， ………………10分

∴
，解得
.

∵
，∴
. ………………12分

18．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到
三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．

（Ⅰ）求甲、乙两人都被分到社区的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；

（Ⅲ）设随机变量
为四名同学中到社区的人数，求
的分布列和
的值．

18.【解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时到社区为事件
，那么
，

即甲、乙两人同时到社区的概率是
． ………………2分

（Ⅱ）记甲、乙两人在同一社区为事件，那么
，……………4分

所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是
． ……………6分

（Ⅲ）随机变量
可能取的值为1，2．事件“
”是指有个同学到社区，

则
．………………8分

所以
，………………10分
















的分布列是：

∴
．………………12分

19．（本小题满分12分） 如图,在长方体
中,
点在棱
上.

（Ⅰ）求异面直线
与
所成的角；

（Ⅱ）若二面角
的大小为
,求点到平面
的距离.

19. 【解析】解法一:(1)连结
.由
是正方形知
.

∵
平面
,

∴
是
在平面
内的射影.

根据三垂线定理得
,

则异面直线
与
所成的角为.………………………………………………………5分

(2)作
,垂足为,连结
,则
.

所以
为二面角
的平面角,
.于是
,

易得
,所以
,又
,所以
.

设点到平面
的距离为
,则由于
即
,

因此有
,即
,∴
.……………………..……12分

解法二:如图,分别以
为轴,轴,