东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）

高三数学 （文科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________

本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：

n个数据
，
，…，
的平均数是
，这组数据的方差
，由以下公式计算：

．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合
，集合
，则
=

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（3）已知一个算法的程序框图如图所示，当输

出的结果为0时，输入的
值为

（A）
或

（B）
或

（C）
或

（D）
或

（4）设等差数列
的前
项和为
，若
，则
的值是

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）已知
，那么
的值是

（A）
（B）

（C）
（D）

（6）已知函数
在[0，+∞]上是增函数，
，若
则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）已知点
，
，
，若线段
和
有相同的垂直平分线，则点
的坐标是

（A）
（B）

（C）
（D）

（8）对任意实数
，
定义运算“⊙”：
设
，若函数
的图象与
轴恰有三个交点，则
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）函数
的定义域是 ．

（10）已知平面向量
，
，且
∥
，则
．

（11）在区间
上随机取两个实数
，
,则事件“
”的概率为_________．

（12）已知数列
的前
项和为
,且对任意
,有
，则
；
．

（13）过点
且斜率为
的直线与抛物线
相交于
，
两点，若
为
中点，则
的值是 ．

（14）在棱长为
的正方体
中，点
是正方体棱上一点（不包括棱的端点），
，

①若
，则满足条件的点
的个数为________；

②若满足
的点
的个数为
，则
的取值范围是________．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）当
时，求函数
的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

汽车的碳排放量比较大，某地规定，从2014年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的轻型汽车进行惩罚性征税．检测单位对甲、乙两品牌轻型汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）．

经测算得乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的平均值为
．

(Ⅰ) 从被检测的5辆甲品牌轻型汽车中任取2辆，则至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率是多少？

(Ⅱ) 求表中
的值，并比较甲、乙两品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性．

（17）（本小题共14分）

如图，在三棱锥
中，
，
，
°，平面
平面
，
，
分别为
，
中点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

（18）（本小题共13分）

已知
，函数
，
．

（Ⅰ）若曲线
与曲线
在它们的交点
处的切线互相垂直，求
，
的值；

（Ⅱ）设
，若对任意的
，且
，都有
，求
的取值范围．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆
的一个焦点为
，且离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）过点
且斜率为
的直线与椭圆交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，求△
面积的最大值.

（20）（本小题共14分）

设
是一个自然数，
是
的各位数字的平方和，定义数列
：
是自然数，
（
，
）．

（Ⅰ）求
，
；

（Ⅱ）若
，求证：
；

（Ⅲ）求证：存在
，使得
．

东城区2013-2014学年度第二学期综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （文科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）A （3）C （4）C

（5）B （6）D （7）A （8）D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）

（11）
（12）

（13）
（14）

注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）

　　　　　 　

　　　　　 　

　　　　　 　
．

所以
． …………………7分

（Ⅱ）当
时，
．

所以，当
时，即
时，函数
取得最小值
；

当
时，即
时，函数
取得最大值
．…………………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）从被检测的
辆甲品牌的轻型汽车中任取
辆，

共有
种不同的二氧化碳排放量结果：

，
，
，
，
，

，
，
，
，
．

设“至少有一辆二氧化碳排放量超过
”为事件
，

则事件
包含以下
种不同的结果：

，
，
，
，
，
，
．

所以
．

即至少有一辆二氧化碳排放量超过
的概率为
．………………6分

（Ⅱ）由题可知，
，所以
，解得
．

，

因为

所以乙品牌轻型汽车二氧化碳排放量的稳定性好．　　　　………………13分

（17）（共14分）

解：（Ⅰ）因为
，
分别为
，
中点，

所以
∥
，

又
平面
，
平面
，

所以
∥平面
. …………………4分

（Ⅱ）连结
，

因为
∥
，又
°，

所以
.

又
，
为
中点，

所以
.

所以
平面
，

所以
. …………………9分

（Ⅲ）因为平面
平面
，

有
，

所以
平面
，

所以
. …………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）
，
．

，
．

依题意有
，

可得
，解得
，或
．　　　　……………６分

（Ⅱ）
．

　　　不妨设
，

则
等价于
，

即
．

　　　设
，

则对任意的
，且
，都有
，

等价于
在
是增函数．

　　　
，

　　　可得
，

　　　依题意有，对任意
，有
．

由
，可得
．……………13分

（19）（共13分）

解（Ⅰ）依题意有
，
．

可得
，
．

　　　　故椭圆方程为
． ………………………………………………５分

（Ⅱ）直线
的方程为
．

　　　联立方程组

　　　消去
并整理得
． （*）

　　　设
，
．

故
，
．

不妨设
，显然
均小于
．

则
，

．

　　　

　　 　　　

．

等号成立时，可得
，此时方程（*）为
，满足
．

所以