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　　本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若
R，
为虚数单位，且
，则

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

2．已知
，则
、
、
的大小关系是

A．




B．

C．





D．

3．执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是

A．6

B．8

C．10

D．15

4．设某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为

A．

B．
[来源:Z#xx#k.Com]

C．

D．

5．为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是

A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中

位数为26.25次

B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数

为27.5次

C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过

30次的人数约有320人

D．该校九年级学生1
分钟仰卧起坐的次数少于

20次的人数约有32人

6．设变量x，y满足约束条件
，则
的最大值是

A．7 B．8 C．9 D．10

7．下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若
，则
”的否命题
为：“若
，则
”．

B．“
” 是“
”的必要不充分条件.

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题.

D．命题“
R使得
”的否定是：“
R均有
”．

8．在
中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若
．则角C等于

A．
B．
C．
D．

9．设
是
的展开式中
项的系数（
），若
，则
的最大值是

A．
B．
C．
D．

10．函数
的定义域为
，且其图象上任一点
满足方程
，给出以下四个命题：①函数
是偶函数；

②函数
不可能是奇函数；③
，
；④
，
.其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

（一）
选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
（t为参数），在极坐标系 （与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴）中，曲线
的极坐标方程为
,则
与
的两个交点之间的距离等于　 　 　 　.

12．不等式
的解集是　 　 　 　.

13．如图，在Rt△ADE中，
是斜边AE的中点，以
为直径的圆O与边DE相切于点C，若 AB＝3，则线段CD的长为 ．

（二）必做题（14～16题）

14．已知向量a=(
,
), b =(
,
)，若a∥b，则
=　 　 　 　.

15．直线
与抛物线
所围图形的面积等于　 　 　 　.

16．设集合
={1，2，3，4，5},对任意
和正整数
，记
，其中，
表示不大于
的最大整数，则
=　 　 　 　，若
，则
　 　 　
　.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知函数
，
R．

（Ⅰ）求
的最小值，并求出相应的
值的集合；

（Ⅱ）求
的单调递减区间．

18．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的演唱技能海选活动，在本次海选中有合格和不合格两个等级．若海选合格记1分，海
选不合格记0分．假设甲、乙、丙海选合格的
概率分别为
，他们海选合格与不合格是相互独立的．

（Ⅰ）求在这次海选中，这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率；

（Ⅱ）记在这次海选中，甲、乙、丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量
,求随机变量
的分布列和数学期望
．

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥
中，
,
,
为
的中点，
,
=
.

（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值．

20．（本小题满分13分）

科学研究证实，二氧化碳等温室气体的排放（简称碳排放）对全球气候和生态环境产生了负面影响.环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施.已知A市2013年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%．同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨（m>0）.

（Ⅰ）求A市2015年的碳排放总量(用含m的式子表示)；

（Ⅱ）若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围.

21．（本小题满分13分）

已知椭圆
(
)的短轴长为2，离心率为
．过点M（2,0）的直线
与椭圆
相交于
、
两点,
为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围；

（Ⅲ）若
点关于
轴的对称点是
，证明：直线
恒过一定点.

22．（本小题满分13分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）若直线
恰好为曲线
的切线时，求实数
的值；

（Ⅱ）当
，
时（其中无理数
），
恒成立，试确定实数
的取值范围．

2014届益阳市高三模拟考试参考答案

数学（理工农医类）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页．时量120分钟，满分150分．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50
分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．B 2．B 3．C 4．A 5．D

6．C 7．C 8．A 9．D 10．B

二、填空题： 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分 ，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

（一）选做题（请考生在第11、12、 13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．4 12．{
} 13．

（二）必做题（14～16题）

14.
15．
16．7，
（提示：利用
的单调性进行估算验证确定）[来源:学科网]

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）

　　　　　　　　
. （6分）

所以函数
的最小值为
,

此时
满足
,

即相应的
的取值的集合为
. （9分）

（Ⅱ）由
得

所以函数
的单调递减区间为
． （12分）

18.（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）记“
甲海选合格”为事件Ａ，“乙海
选合格”为事件Ｂ，“丙海选合格”为事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海选
合格”为事件Ｅ．则

． （4分）

（Ⅱ）
的所有可能取值为0, 1, 2, 3．

；

；

；

．

所以
的分布列为

0

1

2

3
















．
（12分）

19.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：在
中，
，

，

，

则
为直角三角形，

所以，
．

又由已知
，

且
是
的中点，可得

又
，

平面

又

面

平面
平面
．（6分）

（Ⅱ）以
点为坐标原点，建立如图

所示直角坐标系，

则

，

．

设平面
的法向量为
，则有

　即

解得：
，

所以，平面
的一个法向量为
，

，

故直线
与平面
所成角的正弦值为
． （12分）

20.（本小题满分13分）

解：设2014年的碳排放总量为
，2015年的碳排放总量为
，…

（Ⅰ）由已知，
,

=
. （3分）

（Ⅱ）

,

…

. （7分）

由已知有

（1）当
即
时,显然满足题意；

（2）当
即
时，

由指数函数的性质可
得:
，解得
.

综合得
；

（3）当
即
时，

由指数函数的性质可得:
，解得
,综合得
.

综上可得所求范围是
. （13分）

21.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）易知
，
得
,故
.

故方程为
. （3分）

（Ⅱ）证明：设
：
，与椭圆
的方程联立,消去
得

. 由△＞0得
.

设
,则
.

∴

=

，∴
，[来源:学&科&网]

故所求范围是
. （8分）

（Ⅲ）由对称性可知N
，定点在
轴上.

直线AN：
，令
得:

,