绝密★启用前 试卷类型：A

满分150分 考试用时120分钟

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）;

如果事件A，B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）．

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概 率：

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中选择一个符合题目要求的选项）

1．已知条件
；条件
若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是 （ ）

A．
B．

C．
D．

2．已知
，其中
是实数，是虚数单位，则
的共轭复数为 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．等差数列
中，
，则
= （ ）

A．16 B．12 C．8 D．6

4．函数
的大致图像是 （ ）

5．某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为 （ ）

A．600 B．520 C．720 D．360

6．已知函数
是上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，
，则
的值为 （ ）

A．
　　　 B．
　　　 C．1　　　 　 D．2

7．将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，所得函数图象的一条对称轴是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
，则“
”是“
恒成立”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．函数
，任取一点
，使
的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．函数
的定义域为,若存在非零实数，使得对于任意
有
且
，则称
为
上的度低调函数．已知定义域为
的函数
，且
为
上的
度低调函数，那么实数的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）

11．已知圆
的圆心是双曲线
的一个焦点，则此双曲线的渐近线方程为 ．

12．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ．

13．已知
、
均为单位向量，它们的夹角为
，那么
等于 ．

14．已知
是坐标原点，点
，若点
为平面区域
上的一个动点，则
的最小值是 ．

15．关于函数
有下列命题：

①函数
的周期为； ②直线
是
的一条对称轴；

③点
是
的图象的一个对称中心；

④将
的图象向左平移
个单位，可得到
的图象.

其中真命题的序号是_________________.（把你认为真命题的序号都写上）

三、解答题（本大题共6小题，共75分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

设△
的内角
所对的边分别为
,且
,
,
.

（Ⅰ）求
的值;

（Ⅱ）求
的值.

17．（本小题满分12分）

如图，在多面体
中，
，
∥
，且
，
，为
中点。

（Ⅰ）求证：
⊥平面
；

（Ⅱ）求平面
和平面
所成的锐二面角的余弦值。

18．（本小题满分12分）

某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为
，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为
，且不同种产品是否受欢迎相互独立．记
为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

（Ⅰ）求该公司至少有一种产品受欢迎的概率；

（Ⅱ）求
的值；

（Ⅲ）求数学期望
．

19．（本小题满分12分）

设
是首项为,公差为
的等差数列
,
是其前项和.记
,
,其中为实数.

（Ⅰ）若
,且
成等比数列,证明:
（
）;

（Ⅱ）若
是等差数列,证明:
.

20．（本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）若函数
在[1，2]上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）令
，是否存在实数，当
（是自然常数）时，函数
的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

设点是曲线
上的动点，点到点（0，1）的距离和它到焦点的距离之和的最小值为
．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若点的横坐标为1，过作斜率为
的直线交
于点
，交轴于点
，过点
且与
垂直的直线与
交于另一点
，问是否存在实数
，使得直线
与曲线
相切？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

理科数学（五）

17．解：（1）找BC中点G点，连接AG，FG,

∴F，G分别为DC，BC中点,∴FG
,

∴四边形EFGA为平行四边形,

∴
,∵AE
,

∴
,又∵
,

∴平面ABC平面BCD．

又∵G为BC中点且AC=AB=BC ,∴AGBC,

∴AG平面BCD, ∴EF平面BCD ．

（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系

则

设平面CEF的法向量为
，由
得
,

平面ABC的法向量为

,则
．

∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为
．

18．解：设事件
表示“该公司第种产品受欢迎”，
由题意知:

，
,

（Ⅰ）由于事件“该公司至少有一种产品受欢迎”与事件“
”是对立的，

所以该公司至少有一种产品受欢迎的概率是
．

（Ⅱ）由题意知

，整理得
且
，由
，可得
．

（Ⅲ）由题意知

，
,

因此
．

(2)∵
是等差数列∴设公差为
,∴
带入
得:

∴
对
恒成立 ∴

由①式得:
∵
∴
由③式得:

法二:证:(1)若
,则
,
,
.

当
成等比数列,
,

即:
,得:
,又
,故
.

由此:
,
,
. 故:
(
).

(2)
,

. (※)

若
是等差数列,则
型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

故有:
,即
,而
≠0,

故
. 经检验,当
时
是等差数列.

20．（Ⅰ）
在[1，2]上恒成立．

令
，有
得
，得
．

（Ⅱ）假设存在实数，使
有最小值3,
,

①当
时，
在
上单调递减，
（舍去），

②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增,

∴
，满足条件．

③当
时，
在
上单调递减，
（舍去），

综上，存在实数
，使得当
时
有最小值3．