四川省成都市2014届高三第三次诊断性考试

数学文试题

一、选择题：每题5分，共50分

1.设全集
，集合
，则
（　　）

Ａ.
；Ｂ.
；Ｃ.
；Ｄ.
；

2.复数
（
为虚数单位）的共轭复数为（　　）

Ａ.
；Ｂ.
；Ｃ.
；Ｄ.
；

3.设
，则
的大小关系为（　）

Ａ.
；Ｂ.
；Ｃ.
；Ｄ.不能确定；

4.函数
的部分图象如图所示，则
的解析式为（　）

　Ａ.
；Ｂ.
；

Ｃ.
；Ｄ.
；

5.已知过抛物线
的焦点Ｆ的直线
与抛物线相交于Ａ、Ｂ两点，

若线段ＡＢ的中点Ｍ的横坐标为３，则线段ＡＢ的长度为（　）Ａ.6；Ｂ.8；Ｃ.10；Ｄ.12；

6.如图是一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

　Ａ.
；Ｂ.
；Ｃ.
；Ｄ.
；

7.函数
的部分图象大致为（　　）

8.若实数
满足
，则
的最大值为（　）

Ａ.
；Ｂ.
；Ｃ.
；Ｄ.
；

9.某公司要测量一水塔ＣＤ的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选Ａ，Ｂ两个观测点，在Ａ处测得该水塔顶端Ｄ的仰角为
，在Ｂ处测得该水塔顶端Ｄ的仰角为
，已知
，
，则水塔ＣＤ的高度为（　　）

Ａ.
；Ｂ.
；Ｃ.
；Ｄ.
；

10在平面直角坐标系中，已知平面向量
，其中
为
上的两个随机实数，定义平面上的点集
，分别为：

。若在对应的平面区域内随机取一个Ｗ，则点Ｗ落在
对应的平面区域内的概率为（　　）Ａ
；Ｂ.
；Ｃ.
；Ｄ.
；

二、填空题：每题５分，共25分

11.若直线

，若
，则实数
的值为　　　　　

12.若
，则
的值为　　　　

13.图①是某地区参加2014年高考的学生身高的条形统计图，从左至右的各条形图表示的学生人数依次记为
（如
表示身高（单位：cm）在
内的学生人数）。图②是图①中统计身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在
内的学生人数，那么流程图中判断框内整数
的值为　　　

14.设函数
，若
，则
的最小值为　　　　

15.已知双曲线Ｅ：
的离心率为
，圆Ｃ是以坐标原点Ｏ为圆心，实轴为直径的圆，过双曲线第一象限内的任一点
作圆Ｃ的两条切线，其切点分别为Ａ、Ｂ，若直线ＡＢ与x轴、y轴分别相交于Ｍ、Ｎ两点，则
的值为　　　

三、解答题：共6大题，共75分

16.（本小题满分12分）如图，已知正方体
的棱长为２，Ｍ为正方形
的中心，Ｎ为棱ＡＢ的中点。（１）求证：
；（２）求四棱锥
的体积。

17（本小题满分12分）已知正项等比数列
满足

（１）求数列
通项公式；（２）设数列
满足
，求数列
的前
和

18.（本小题满分12分）已知函数
。

（１）求函数
的单调递减区间；（２）将函数
图象上所有点的横坐标伸长为原来的２倍，纵坐标不变得到函数
的图象，再将
的图象向右平衡移
个单位得到
的图象，求函数
的解析式，并求
在
上的值域

19（本小题满分12分）2014年4月10日至12日，第七届中国西部国际化工博览会在成都举行，为了使志愿者更好地服务于大会，主办方决定对40名志愿者进行一次考核，考核分为两个科目：“成都文化”和“志愿者知识”，其中“成都文化”的考核成绩为10分，8分，6分，4分共四个档次；“志愿者知识”的考核结果分为A、B、C、D共四个等级，这40名志愿者的考核结果如下表：

（1）求“成都文化”考核成绩的平均值（结果用小数表示）；

（2）从“成都文化”考核成绩为10分的志愿者中任意选2名作为队长，求队长中至少有一个人的“志愿者知识”考核等级为A或B的概率。

20（本小题满分13分）在圆
上任取一点P，过点P作x轴的垂线PD，D为垂足，M为垂线段PD上的点，且满足
。（1）求点M的轨迹方程；（2）若直线
与（1）中轨迹E相交于不同两点A，且满足
（O为坐标原点为），求线段AB长度的取值范围。

21（本小题满分14分）已知函数

（1）求函数
的极大值；

（2）定义运算：

①求证：
，使得
②设函数
，已知函数
是
的反函数，若关于
的不等式
在
上恒成立，求整数
的最大值。