合肥八中2014年第三次适应性考试

数学(理)参考答案

选择题（5分×10＝50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



选项

B

D

A

C

A

C

B

C

B

A





1．【答案】：B

【解析】：
，

2．【答案】：D

【解析】：
，

3．【答案】：A

【解析】：直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行的充要条件是
或1

4．【答案】：C

5．【答案】：A

【解析】：

6．【答案】：C

【解析】：

7．【答案】：B

【解析】：如图，即

体积为

8．【答案】：C

【解析】：由题意知
，不妨取双曲线的渐近线为
，由
得
.因为
，所以
，即
，解得
，即
，所以
，即
，所以离心率

9．【答案】：B

【解析】：

，故A正确，C显然正确，
,

同理，
，故D正确

10．【答案】：A

【解析】：令
，

为偶数时，
为奇数，当
为偶数时才是偶数，故0的像有2个

为奇数时，
为偶数，不论
是偶数还是奇数，都是偶数，故1，
的像都是5个

则这样的映射
有50个

填空题

11．【答案】

【解析】z取最大值的最优解为
，取最小值的最优解为
，则z的最大值为3，最小值为
，由
，

12．【答案】10

【解析】在
中令
，得
，
中，
展开式的通项为
，则常数项为

13．【答案】

【解析】直线l的普通方程为
，圆C的普通方程为
，由点到直线的距离公式即可

14．【答案】

，设
,

则
，

，对任意
，有
，即函数
在R上单调递增，则
的解集为
，即
的解集为

15．【答案】①③⑤

【解析】作出函数
的图象，

(1)当
时,1个不相等的实根

(2)当
时,3个不相等的实根

(3)当
时，5个不相等的实根

(4)当
时, 3个不相等的实根

(5)当
时, 1个不相等的实根

16．(本小题满分12分)

【解析】：（1）由正弦定理得
，

则
， …………2分

故
，

可得
，

即
，可得
， …………4分

又
，因此
． …………6分

（2）解：由
，可得
，

又
，故
． …………8分

又
，

可得
， …………10分

所以
，即
．

所以
． …………12分

17．(本小题满分12分)

【解析】：(1)证明：
且交线为AB,又
为直角

所以

故

又
为等边三角形，点M为AB的中点

所以

又

所以

又

所以平面PAB⊥平面PCM ·········6分

（2）假设PA=a，则AB=2a

,
,而三角形PMC为直角三角形，故面积为
·故
··················9分

所以直线BP与平面PMC所成角的正弦值

所以余弦值为
· ············12分

18 (本小题满分12分)

解：（1）甲城市空气质量总体较好． …………………2分

（2）甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
， …………………3分

乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为
， …………………4分

在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为
．

……………………6分

（3）
的取值为
， …………………7分

，
，

所以
的分布列为：

0

1















…………………10分

数学期望
…………………12分

19．（本小题满分13分）

【解析】 (1)当
时,由
得
,

当
时,
①

②

上面两式相减,得

所以数列
是以首项为
,公比为
的等比数列,

求得
·········6分

(2)
，

············13分

20．（本小题满分13分）

(Ⅰ) 由|PE|＋|PF|＝4＞|EF|及椭圆定义知，点P的轨迹是以E，F为焦点，4为长轴长的椭圆．

设P(x，y)，则点P的轨迹方程为

＋y2＝1． ………… 5分

(Ⅱ) 设圆P与圆F的另一个公共点为T，并设P(x0，y0)，Q(x1，y1)，T(x2，y2)，则由题意知，圆P的方程为

(x－x0)2＋(y－y0)2＝x02＋y02．

又Q为圆P与圆F的一个公共点，故

所以

(x0－
) x1＋y0 y1－1＝0．

同理

(x0－
) x2＋y0 y2－1＝0．

因此直线QT的方程为

(x0－
)x＋y0y－1＝0．

连接PF交QT于H，则PF⊥QT．设|QH|＝d (d＞0)，则在直角△QHF中|FH|＝
．又
，故

|FH|＝
．

在直角△QHF中d＝
．所以点Q到直线PF的距离为1． ………… 13分

21. （本小题满分13分）

(1)因为函数定义域为
，所以
即
，令
，

得









+

－





↑

↓



因此
，所以
………… 6分

(2)由(1)知
时，
，即
，则
(当
时等号成立)，令
，得
，即
，取
，并累乘得
，所以
，
即
………… 13分