海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数 学 （理科） 2014.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1. C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 96 10.
11. 2 12.
13.
14. 9；3 (本题第一空3分，第二空2分)

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15．解：

（Ⅰ）
---------------------------2分

------------------------------3分

. -------------------------------5分

（Ⅱ）
------------------------------6分

------------------------------7分

------------------------------8分

------------------------------10分

因为
，所以
， ------------------------------11分

所以
， -----------------------------12分

所以
在
上的取值范围是
-----------------------------13分

16.解：

（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33. --------------------------------2分

（Ⅱ）设为乙公司员工B投递件数，则

当=34时， =136元，当>35时，
元，

的可能取值为136,147,154,189,203 -------------------------------4分

{说明：X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}

的分布列为：

136

147

154

189

203

















--------------------------------------9分

{说明：每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}

--------------------------------------11分

（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元. ------------------------------------13分

17．（Ⅰ）因为平面
平面
，交线为
，

又在
中，
于，
平面

所以
平面
. --------------------------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）结论
平面
可得
.

由题意可知
，又

.

如图，以为坐标原点，分别以
所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

--------------------------4分

不妨设
，则
.

由图1条件计算得，
，
，

则
-------5分

.

由
平面
可知平面DCB的法向量为
. -----------------------------------6分

设平面
的法向量为
，则

即

令
，则
，所以
.------------------------------------8分

平面DCB的法向量为

所以
，

所以二面角
的余弦值为
------------------------------9分

（Ⅲ）设
，其中
.

由于
，

所以
，其中
--------------------------10分

所以
--------------------------11分

由
，即
---------------------------12分

解得
. -----------------------------13分

所以在线段
上存在点
使
，且
.-------------14分

18．解

（Ⅰ）
， -----------------------------------2分

因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：
，

所以
且
. ----------------------------------4分

解得
，
-----------------------------------5分

（Ⅱ）法1：

对于任意实数a，曲线C总在直线的
的上方，等价于

?x,
，都有
，

即?x,
R，
恒成立， --------------------------------------6分

令
， ----------------------------------------7分

①若a=0，则
，

所以实数b的取值范围是
； ----------------------------------------8分

②若
,
，

由
得
， ----------------------------------------9分

的情况如下：



0









0

+







极小值





 -----------------------------------------11分

所以
的最小值为
， -------------------------------------------12分

所以实数b的取值范围是
；

综上，实数b的取值范围是
． --------------------------------------13分

法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的
的上方，等价于

?x,
，都有
，即

?x,
R，
恒成立， -------------------------------------------6分

令
，则等价于?
，
恒成立，

令
，则
， -----------------------------------------7分

由
得
， ----------------------------------------9分

的情况如下：



0









0

+







极小值





 -----------------------------------------11分

所以
的最小值为
， ------------------------------------------12分

实数b的取值范围是
． --------------------------------------------13分

19．解：

（Ⅰ） 设
,
， ---------------------------------------1分

因为
为等边三角形，所以
. ---------------------------------2分

又点
在椭圆上，

所以
消去
， -----------------------------------------3分

得到
，解得
或
，----------------------------------4分

当
时，
；

当
时，
. -----------------------------------------5分

{说明：若少一种情况扣2分}

（Ⅱ）法1：根据题意可知，直线
斜率存在.

设直线
:
，
，
，
中点为
，

联立
消去得
， ------------------6分

由
得到
① ----------------------------7分

所以
,

， ----------------------------8分

所以
，又

如果
为等边三角形，则有
， --------------------------9分

所以
， 即
， ------------------------------10分

化简
，② ------------------------------11分

由②得
，代入① 得
，

化简得
，不成立， -------------------------------------13分

{此步化简成
或
或
都给分}

故
不能为等边三角形. -------------------------------------14分

法2：设
，则
，且
，

所以
，----------------8分

设
，同理可得
，且
-----------------9分

因为
在
上单调

所以，有


， ---------------------------------11分

因为
不关于轴对称，所以
.

所以
， ---------------------------------13分

所以
不可能为等边三角形. ---------------------------------14分

20.解：

（Ⅰ）设点列
的正交点列是
,

由正交点列的定义可知
,设
，

，
，

由正交点列的定义可知
,
,

即
解得

所以点列
的正交点列是
.------3分

（Ⅱ）由题可得
，

设点列
是点列
的正交点列，

则可设
,

因为
相同，所以有

因为
，方程（2）显然不成立，

所以有序整点列
不存在正交点列；---------------8分

（Ⅲ）
，都存在整点列
无正交点列. -------------------------9分

，设
其中
是一对互质整数，

若有序整点列
是点列
正交点列,

则
，

则有

①当为偶数时，取

.

由于
是整点列，所以有
，
.

等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，

所以该点列
无正交点列；

②当为奇数时，

取

,
,

由于
是整点列，所以有
，
.

等式（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，

所以该点列
无正交点列.

综上所述，
，都不存在无正交点列的有序整数点列
----------13分