海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数 学 （文科） 2014.4

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7. C 8.B

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9. 1 10. 方案三 11.
, 12. ③,
13. 152

14.
,

{说明：两空的第一空3分，第二空2分；14题的第二空若写成
不扣分}

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.

15.解：

（Ⅰ）
---------------------------------1分

---------------------------------2分

---------------------------------3分

---------------------------------4分

（Ⅱ）
---------------------------------6分

--------------------------------8分

因为

所以
--------------------------------10分

所以
--------------------------------12分

所以
的取值范围是
--------------------------------13分

16.解：

(Ⅰ)答对题目数小于9道的人数为55人，记“答对题目数大于等于9道”为事件A

--------------------------------5分

(Ⅱ)设答对题目数少于8道的司机为 A、B、C、D、E，其中A、B为女司机 ，选出两人包含AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10种情况，至少有1名女驾驶员的事件为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE共7种.

记“随机选出的两人中至少有1名女驾驶员”为事件M，则

--------------------------------13分

17.解：

（Ⅰ）因为,
分别为
中点，所以
//
---------------------2分

又
，

所以
. -----------------------4分

（Ⅱ）因为
，
且

所以
-------------7分

又

所以
------------------------9分

（Ⅲ）直线
与直线
不能垂直 ---------------------------------------10分

因为
,
,
,

，

所以
. ---------------------------------------12分

因为
，所以
，

又因为
，所以
.

假设
，

因为
，
，

所以
， ------------------------------------------13分

所以
，

这与
为锐角矛盾

所以直线
与直线
不能垂直. ---------------------------------------14分

18.解：

(Ⅰ) 定义域为
------------------------------------1分

------------------------------------2分

令
，得
------------------------------------3分

与
的情况如下：













0







↘

极小值

↗



 --------------------------------5分

所以
的单调减区间为
，单调增区间为
--------------------------6分

(Ⅱ) 证明1：

设
，
------------------------------------7分

-------------------------------8分

与
的情况如下：



1









0







↘

极小值

↗



 所以
，即

在
时恒成立， ----------------------10分

所以，当
时，
，

所以
，即
，

所以，当
时，有
. ------------------------13分

证明2：

令
----------------------------------7分

-----------------------------------8分

令
，得
-----------------------------------9分

与
的情况如下：













0







↘

极小值

↗



 ---------------------10分

的最小值为
-------------------11分

当
时，
，所以

故
-----------------------------12分

即当
时，
. ------------------------------------13分

19.解：（Ⅰ）证明：

因为
在椭圆上，

所以
-----------------------------------1分

因为
关于点
对称，

所以
， --------------------------------2分

将
代入②得
③，

由①和③消
解得
， ------------------------------------------4分

所以
. ------------------------------------------5分

（Ⅱ）当直线
不存在斜率时，
，

可得
，
不是等边三角形. -----------------------6分

当直线
存在斜率时，显然斜率不为0.

设直线
：
，
中点为
，

联立
消去得
， ------------------7分

由
，得到
① -----------------------------------8分

又
,

所以
，

所以
-------------------------------------------10分

假设
为等边三角形，则有
，

又因为
，

所以
， 即
， ---------------------11分

化简
，解得
或
---------------12分

这与①式矛盾，所以假设不成立.

因此对于任意不能使得
,故
不能为等边三角形. ------------14分

20.解：

（Ⅰ）有序整点列
与
互为正交点列.

-------------------------1分

理由如下：

由题设可知
,
,

因为
,

所以
.

所以整点列
与
互为正交点列.

----------------------------3分

（Ⅱ）证明 ：由题意可得
，

设点列
是点列
的正交点列，

则可设
,

因为
相同，所以有

因为
，方程②不成立，

所以有序整点列
不存在正交点列.----------8分

（Ⅲ）存在无正交点列的整点列
. -------------------------------------------9分

当
时，设
其中
是一对互质整数，

若有序整点列
是点列
的正交点列,

则
，由

得

取

,

由于
是整点列，所以有
.

等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，

所以存在无正交点列的整点列
. -----------------------------------13分