合肥八中2014届高三二模适应性考试卷

数学（文科）试卷参考答案

命题 钱海新 审题 吴勇智

一．选择题

1．复数
（其中是虚数单位,满足
）的实部与虚部之和为（ ）

A．
B．1 C．
D．2

【答案】A

【解】
,故其实部和虚部分别为

2．已知全集
,且
，
。则
=（ ）

A．

B．
C．
D．

【答案】C

【解】
，
，

3．“
”是“实系数一元二次方程
无实根”的 （ ）

A. 必要不充分条件 B.充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

4.已知
，
，若
，则
＝( )

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解】因为
，所以
，即
，即
，所以
，故选B．

5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的等于（ ）

A．15 B．29 C．31 D．63

【答案】C

【解】本题可以用列举法得B=31

6. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图所示）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500，3 000）月收入段应抽出多少人

A．5 B．50 C．25 D．250

【答案】C

【解】由图可得月收入在[2 500，3 000）的频率为0.0005×500＝0.25，

所以在[2 500，3 000）月收入段应抽取100×0.25＝25（人）。

7．如图,在三棱锥
中，
，且
,点在边
上，且
，则三棱锥
的体积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解】
，
，故选D

8.将函数f(x)=2sin
的图象向左平移
个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[
]上为增函数,则的最大值 （　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

设
是椭圆
的两个焦点，是以
为直径的圆与椭圆的一个交点，若
，则椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A，

【解】由几何性质和椭圆的定义可得 设
易得

10．在平面直角坐标系中，不等式组
（为常数），表示的平面区域的面积是8，则
的最小值 （ ）

A．
B．0 C．12 D．20

【答案】A

二．填空题

11. 若函数
满足
, 则
的最小正周期

【答案】

12.已知函数
则

【答案】1

13.设公差不为零的等差数列
的前n项和为
，若
，则

14.已知直线

与圆
交于不同的两点、，
是坐标原点，且有
，那么
的取值范围是

【答案】

15.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。

下列方程：①
；②
，③
；④

对应的曲线中存在“自公切线”的有

【答案】②③

【解析】画图可知①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线

三、解答题

16. （满分12分）已知函数
．

（1）求
的最大值；

（2）若
的内角
的对边分别为
，且满足
，
，

求
的值．

解：（Ⅰ）

…………………………………………… （6分）

（Ⅱ）由条件得

化简得
，由正弦定理得：
又
由余弦定理得：

………………………………………………… （12分）

17. （满分12分）把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为,第二次出现的点数记为
，给定方程组

（1）试求方程组只有一解的概率；

（2）求方程组只有正数解（
）的概率。

【解】（1）当且仅当
时，方程组有唯一解 .因
的可能情况为

三种情况

而先后两次投掷骰子的总事件数是36种，所以方程组有唯一解的概率

……………… （6分）

（2）因为方程组只有正数解，所以两直线的交点在第一象限，由它们的图像可知

解得（
）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），

（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），

所以方程组只有正数解的概率
……………… （12分）

18.(12分) 在长方体
中，
，过
、
、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体
，且这个几何体的体积为
．

（1）求棱
的长；

（2）在线段
上是否存在点，使直线
与
垂直，如果存在，求线段
的长，如果不存在，请说明理由．

解：（1）设
,∵几何体
的体积为
，

∴
， 即
，

即
，解得
．∴
的长为4． ………… （6分）

（2）在线段
上存在点，使直线
与
垂直．

过点
作
的垂线交
于点
，过点
作

交
于点．则
,

∵
，
，
，

∴
平面
．

∵
平面
，∴
．

∵
，∴
平面
．

∵
平面
，∴
．

在矩形
中，∵
∽
，

∴
，即
，∴
．

∵
∽
，∴
，即
，∴

∴在线段
上存在点,使直线
与
垂直，且线段
．…… （12 分）

19. （满分13分）已知椭圆
的中心在原点
，离心率
，右焦点为
．

（1） 求椭圆
的方程；

（2） 设椭圆的上顶点为，在椭圆
上是否存在点，使得向量
与
共线？若存在，求直线
的方程；若不存在，简要说明理由．

解：⑴设椭圆
的方程为
，

椭圆
的离心率
，右焦点为
，

，
，

，故椭圆
的方程为
． ……………… （5分）

⑵假设椭圆
上是存在点（
），使得向量
与
共线，

，
，

， （1）

又点（
）在椭圆
上，

( 2 )

由⑴、⑵组成方程组解得
，或
，

，或
，

当点的坐标为
时，直线
的方程为
，

当点的坐标为
时，直线
的方程为
，

故直线
的方程为
或
． ……………… （13分）

20. （13分）已知定义在R上的函数
，其中a为常数.

（1）若x=1是函数
的一个极值点，求a的值；

（2）若函数
在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；

（3）若函数
，在x=0处取得最大值，

求正数a的取值范围.

解：（I）

的一个极值点，
； … （3分）

（II）①当a=0时，
在区间（－1，0）上是增函数，
符合题意；

②当
；

当a>0时，对任意
符合题意；

当a<0时，当
符合题意；

综上所述，
……… （8分）

（III）

令

设方程（*）的两个根为
式得
，不妨设
.

当
时，
为极小值，所以
在[0，2]上的最大值只能为
或
；

当
时，由于
在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为
，

所以在[0，2]上的最大值只能为
或
，

又已知
在x=0处取得最大值，所以

即
……… （13分）

21. （满分13分）已知
，点
在曲线
上
且
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，对于任意
都有
恒成立，求实数
的取值范围；

解：(1)
∴

∴
∴数列
是等差数列，首项
公差

∴
∴

∵
∴
……… （6分）

(2)

,代入
并整理得
(1－)≤3n＋1，∴
≤，原命题等价于该式对任意n≥2的整数恒成立．设
＝，则
－