北京市东城区2013—2014学年度第二学期高三综合练习（一）

数学（文）试题

本试卷共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
=

（A）（xlx<-1，或x>2} （B）{xlx≤-1，或x≥2）

（C）{x|-l

（2）复数
=

（A）
（B）
（C）—
（D）一

（3）为了得到函数y=sin（2x-
）的图象，只需把函数y= sin2x的图象

（A）向左平移
个单位长度 （B）向右平移
个单位长度

（C）向左平移
个单位长度 （D）向右平移
个单位长度

（4）若双曲线等
的离心率为
，则m=

（A）
（B）3 （C）
（D）2

（5）设等差数列{
}的前n项和为Sn，若a1=1，a2+a3=11，则S6一S3=

（A）27 （B）39

（C）45 （D）63

（6）已知a
，b=log42，c=log31．6，则

（A）a>b>c （B）a>c>b

（C）b>a>c （D）c>a>b

（7）若一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为

（8）已知a，b是正数，且满足2

第二部分（非选择题 共1 10分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）cos
= .

（10）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=2，则抛物线的方程为 .

（11）如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 ；乙组数据的平均数是 .

（12）在△ABC中，D，E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，|AF|=
|AB|。若
.

（13）已知函数
是定义在R上的奇函数．当x<0时，
的解析式为 ；不等式f（x）<0的解集为 .

（14）已知符号函数

三、解答题共6小题。共80分。解答应写出文字说明。演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△ABC中，

（I）求c的值；

（Ⅱ）若b=3，求sin（2A一
）的值．

（16）（本小题共13分）

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

（I）求直方图中口的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；

（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试．设4人中恰有2人为甲班同学的概率。

（17）（本小题共14分）

如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M和N分别是AD和BC的中点。

（I）求证：PM⊥MN；

（II）求证：平面PMN⊥平面PBC；

（III）在PA上是否存在点Q，使得平面QMN//平面PCD？若在求出Q点位置，并证明；若不存在，请说明理由。

（18）（本小题共13分）

已知函数

（I）当a=
时，求曲线
f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）讨论
的单词性。

（19）（本小题共13分）

已知椭圆G：
过点A（1，
）和点B（0，-1）．

（I）求椭圆G的方程，

（Ⅱ）设过点G与直线y=x+m相交于不同的两点M，N，是否存在实数m，使得|BM|=|BN|?若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．

（20）（本小题共14分）

设X是一个非空集合，由X的一切子集（包括仞，X自身）为元素构成的集合，称为X的幂集，记为P（X）．

（I）当X={1，2，3}时，写出P（X）；

（Ⅱ）证明：对任意集合X，y，都满足P（X）
P（Y）一P（X
Y）；

（III）设X是10个两位数字形成的集合，证明：P（X）中必有两个X的子集，其元素的数值和相等．