北京市丰台区2014届高三第二学期统一练习（一）

数 学（文科） 2014.3

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合
，
,则
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）已知等比数列
中，
＝1，
＝2，则
等于

（A）2　　 （B）2
　 　（C）4　　 （D）4

（3） 执行如图所示的程序框图，输出的x值为

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）已知函数
是定义在R上的偶函数，它在
上是减函数. 则下列各式一定成立的是

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）设向量
=
，
=
，则“
”是“
//
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大

赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两

人的平均成绩分别是
，
，则下列说法正确的是

（A）
，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

（B）
，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛

（C）
，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛

（D）
，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛

（7） 某三棱锥的三视图如图所示，

该三棱锥的体积是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）在同一直角坐标系中，方程
与方程
表示的曲线可能是

（A） (B) (C) (D)

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知
，则
的值为_______________.

（10）复数
在复平面内对应的点的坐标是____________.

（11） 以点（-1,1）为圆心且与直线
相切的圆的方程为____________________.

（12）已知函数
,点P(
)在函数
图象上，那么
的最小值是____________.

（13） A，B两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务.A机到达甲地 完成任务后原路返回；B机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回.图中折线分别表示A，B两架直升机离甲地的距离s与时间t之间的函数关系. 假设执行任务过程中A,B均匀速直线飞行，则B机每小时比A机多飞行 公里.

（14）设不等式组
表示的平面区域为M，不等式组
表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率为P.①当
时，P=__________；② P的最大值是_________.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本题共13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最小值和最大值.

（16）（本题共13分）

年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，

他们的健康状况如下表：

健康指数

2

1

0

-1



60岁至79岁的人数

120

133

34

13



80岁及以上的人数

9

18

14

9



其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”。

（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是

多少？

（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5

位，并随机地访问其中的3位.求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的

健康指数不大于0的概率.

（17）（本题共14分）

如图，四边形ABCD与四边形
都为正方形，
，F为线段
的中点，E为线段BC上的动点.

（Ⅰ）当E为线段BC中点时，求证：
平面AEF；

（Ⅱ）求证：平面AEF
平面；

（Ⅲ）设
，写出为何值时MF⊥平面AEF(结论不要求证明).

（18）（本题共13分）

已知曲线

.

（Ⅰ）求曲线在点（
）处的切线；

（Ⅱ）若存在实数
使得
，求的取值范围.

（19）（本题共14分）

如图，已知椭圆E:
的离心率为
，过左焦点
且斜率为
的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线
：
交椭圆E于C,D两点.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）求证：点M在直线
上；

（Ⅲ）是否存在实数
，使得四边形AOBC为平行四边形?若存在求出
的值，若不存在说明理由.

（20）（本题共13分）

从数列
中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列
的一个子列.

（Ⅰ）写出数列
的一个是等比数列的子列；

（Ⅱ）设
是无穷等比数列，首项
，公比为.求证：当
时，数列
不存在是无穷等差数列的子列.

丰台区2014年高三年级第二学期统一考试（一）

数学（文科）答案 2014.3

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

B

B

A

D

C

A





二、填空题

9．
10.
11.

12. 4 13. 20 14.
;

三、解答题

（15）

解：（Ⅰ）

.---------------------------------------------------------------7分

（Ⅱ）
,

即
时，
的最小值为
,

即
时，
的最大值为
. -------------------------13分

（16）解：

（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为
，

所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为
.-----------5分

（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人

共有70人，所以被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康

指数不大于0.设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为，

健康指数不大于0的老龄人为B.

从这五人中抽取3人，结果有10种：

，，，，，，，，，

其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：

，，，，，

所以被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为.

-----------------13分

（17）

（Ⅰ）证明：

F为线段
的中点, E为线段BC中点

所以

又
平面AEF,
平面AEF

所以
平面AEF

-----------------------------------------------------------------4分

（Ⅱ）证明：四边形
与四边形
都为正方形

所以

,

，所以
平面

平面
，故

，所以

由题意
=
，F为线段
的中点

所以

，所以
平面

平面AEF

所以平面AEF平面
.-------------------------------------------11分

（Ⅲ）
--------------------------------------------------------------------14分

（18）解：

（Ⅰ）因为
，所以切点为（0，-1）.

，
，

所以曲线在点（
）处的切线方程为：y=(a-1)x-1.---------------4分

（Ⅱ）因为a>0，由
得，
，由
得，
，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
的最大值为
.

因为存在
使得
，所以
，所以
.----------13分

19. 解：

（Ⅰ）由题意可知
，
，于是
.

所以，椭圆的标准方程为
程.---------------------------------3分

（Ⅱ）设
，
，
，

即
.

所以，
，
，
，

于是
.

因为
，所以
在直线
上.---------------------------9分

（Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M为OC中点

设点C的坐标为
，则
.因为
，解得
.

于是
，解得
，即
.

所以，当
时四边形AOBC的对角线互相平分，即当
时四边形AOBC是平行四边形.------------------ ------------------------------14分

（20）解：

（Ⅰ）
（若只写出2,8,32三项.给满分）.----------------------------------5分

（Ⅱ）证明：假设存在是等差数列的子列
，

，且数列
是递减数列，

所以