北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（文史类）

2014.3

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共
40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知集合
,
,则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知
为虚数单位,复数
的值是

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）若
满足约束条件
则函数
的最大值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次．设命题
是“甲落地站稳”,
是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）执行如右图所示的程序框图，则输出
的值是 （ ）

（A）10

（B）17

（C）26

（D）28

（6）函数
的图象大致为

（A） （B） （C） （D）

（7）已知
和
是平面内两个单位向量，它们的夹角为
，则
与
的夹角是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）如图，梯形
中，


,
,
,
,将
沿对角线
折起．设折起后点
的位置为
，并且平面

平面
.给出下面四个命题：

①
；

②三棱锥
的体积为
；

③

平面
；

④平面
平面
.

其中正确命题的序号是

（A）①② （B）③④ （C）①③ （D）②④

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

（9）抛物线
的准线方程是 .

（10）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高 分.

（11）在
中，
分别是角
的对边．已知
,
,
，则
；
.

（12）一
个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；表面积为 ．

（13）已知直线
与曲线
交于不同的两点
，若
，则实数
的取值范围是 .

（14）将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片
上的所有数组成的集合是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（15）（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
的值及函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值和最小值．

（16）（本小题满分13分）

某单位从一所学校招收某类特殊人才．对
位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

一般

良好

优秀



一般









良好









优秀









例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是
人．由于部分数据丢失，只知道从这

位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为
．

（Ⅰ）求
，
的值；

（Ⅱ）从运动协调能力
为优秀的学生中任意抽取
位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．

（17）（本题满分14分）在四棱柱
中，
底面
，底面
为菱形，
为

与
交点，已知
,
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
；

（Ⅲ）设点
在
内（含边界）,且

，说明满足条件的点
的轨迹，并求
的最小值.

（18）（本小题满分13分）

设函数
，
，
，记
.

（Ⅰ）求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）当
时，若函数
没有零点，求
的取值范围.

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆
经过点
，一个焦点为
．

（
Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
与
轴交于点
，与椭圆
交于
两点，线段
的垂直平分线与
轴交于点
，求
的取值范围．

（20）（本小题满分13分）

已知
是公差不等于0的等差数列，
是等比数列
，且
.

（Ⅰ）若
,比较
与
的大小关系；

（Ⅱ）若
.

（ⅰ）判断
是否为数列
中的某一项，并请说明理由；

（ⅱ）若
是数列
中的某一项，写出正整数
的集合（不必说明理由）.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（文史类）

2014.3

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

C

D

D

B

A

C

B





二、填空题

题号

9

10

11

12

13

14



答案



16


；


；



二；





三、解答题

15. 解：（Ⅰ）因为

所以，
.

由
,
，

得
，

所以
的单调递增区间是
，
. ……………………8分

（Ⅱ）因为

所以
.

所以，当
，即
时，
取得最小值
；

当
即
时，
取得最大值
. ……………………13分

16. 解：（I）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有
人．

设事件
：从
位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，

则
．

解得
．

所以
． ……………………………………………………5分

（Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有
位，分别记为

．其中
和
为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.

从中任意抽取
位，可表示为
,

,
,
，共
种可能．

设事件
：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取
位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．

事
件
包括
,
,
,
，共
种可能．所以
．

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为
． ……………………………13分

17. 解：（Ⅰ）依题意, 因为四棱柱
中，
底面
，

所以
底面
.

又
底面
,

所以

.

因为
为菱形，

所以
.而
，

所以
平面
. ………………4分

（Ⅱ）连接
,交
于点
，连接
.[来源:学科网ZXXK]

依题意，
∥
,

且
，
,

所以
为矩形.

所以
∥
.[来源:学|科|网]

又
,
,
,

所以
=
，所以
为平行四边形，

则
∥
.

又
平面
，
平面
,

所以
∥平面
. ……………………………………………………………9分

（Ⅲ）在
内，满足

的点
的轨迹是线段
，包括端点.

分析如下：连接
，则
.

由于
∥
,故欲使

，只需
,
从而需
.

又在