北京市东城区2014届高三第二学期综合练习（一）

数学（理科） 2014．4

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题3分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

已知集合
，则
（ ）．

A．
B．
或

C．
D．

复数
（ ）．

A．
B．

C．
D．

为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象（ ）．

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

设等差数列
的前项和为
，若
，
，则
（ ）．

A．27 B．36 C．42 D．63

在极坐标系中，点
到直线
的距离等于（ ）．

A．
B．
C．
D．2

如图，在
中，
，
，是
的中点，则
（ ）．

A．3 B．4

C．5 D．不能确定

若双曲线
的渐近线与圆
相切，则双曲线的离心率为（ ）．

A．2 B．
C．
D．

已知符号函数
则函数
的零点个数为（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）

如图，
是圆的直径，延长
至，使
，且
，
是圆的切线，切点为，连接
，则
________，
________．

设不等式组
表示的平面区域为，在区域内随机取一个点
，则
的概率为________．

已知函数
是定义在上的奇函数，当
时，
，则
时，
的解析式为______，不等式
的解集为________．

某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）

如图，在三棱锥
中，
，
，平面
平面
，为
中点，点
分别为线段
上的动点（不含端点），且
，则三棱锥
体积的最大值为________．

三、解答题共6小题，共80分．

（本小题共13分）

在
中，
．

（1）求角的值；

（2）如果
，求
面积的最大值．

16、（本小题共13分）

某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间
的有8人．

（1）求直方图中的值及甲班学生每天平均学习时间在区间
的人数；

（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为
，求
的分布列和数学期望．

17、（本小题共14分）

如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
，
，
，是
中点，为
上一点．

（1）求证：
平面
；

（2）当
为何值时，二面角
为
．

18、（本小题共13分）

已知函数
，
．

（1）当
时，求
的单调区间；

（2）已知点
和函数
图象上动点
，对任意
，直线
倾斜角都是钝角，求的取值范围．

19、（本小题共13分）

已知椭圆
过点
和点
．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点
的直线与椭圆交于
两点，且
，求直线的方程．

20、（本小题共14分）

已知集合

，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为子集，记子集的个数为
．

（1）当
时，写出所有子集；

（2）求
；

（3）记
，求证：

北京市东城区2014届高三第二学期综合练习（一）

数学参考答案（理科）

一、选择题

1．C 2．C 3．D 4．D

5．A 6．B 7．C 8．B

二、填空题

9．
10．
；

11．
12．
；

13．24 14．

三、解答题

15．（共13分）

解：⑴ 因为
，
，

所以
，
．

因为
． 所以
．

⑵ 因为
，

所以
，

因为
，

所以
，

所以
（当且仅当
时，等号成立），

所以
，
，

所以
面积最大值为
．

（共13分）

解：⑴ 由直方图知，
，

解得
，

因为甲班学习时间在区间
的有8人，

所以甲班的学生人数为
，

所以甲、乙两班人数均为40人．

所以甲班学习时间在区间
的人数为

（人）．

⑵ 乙班学习时间在区间
的人数为
（人）．

由⑴知甲班学习时间在区间
的人数为3人，

在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，
的所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

所以随机变量
的分布列为：

0

1

2

3
















．

17．（共14分）

证明⑴ 因为
平面
，
平面
，

所以
，

因为
是矩形，所以
．

因为
，所以
平面
，

因为
平面
，所以
，

因为
，是
中点，所以
，

因为
所以
平面
．

⑵ 解：因为
平面
，
，

所以以为坐标原点，
、
、
所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设
，则
，
，
，
．

所以
，
．

设平面
的法向量为
，则

所以

令
，得
，
，

所以
．

平面
的法向量为
．

所以
．

所以
．

所以当
时，二面角
为
．

（共13分）

解：⑴ 当
时，
，定义域为
，

















↘

↗



所以当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．

⑵ 因为对任意
，直线
的倾斜角都是钝角，

所以对任意
，直线
的斜率小于0，

即
，
，

即
在区间
上的最大值小于1，

，
．

令

①当
时，
在
上单调递减，

，显然成立，所以
．

②当
时，二次函数
的图象开口向下，

且
，
，

，
，

故
，
在
上单调递减，

故
在
上单调递减，
，显然成立，所以
．

⑶ 当
时，二次函数
的图象开口向上，

且
，
．

所以
，当
时，
．

当
时，
．

所以
在区间
内先递减再递增．

故
在区间
上的最大值只能是
或
．

所以
即
所以
．

综上
．

19．(共13分)

解：（Ⅰ）因为椭圆
过点
和点
．

所以
，由
，得
．

所以椭圆的方程为
．

（Ⅱ）显然直线的斜率存在，且
．

设直线的方程为
．

由
消去并整理得
，

由
，
．

设
，
，
中点为
，

得
，
．

由
，知
，

所以
，即
．

化简得
，满足
．

所以
．

因此直线的方程为
．

（20）(共14分)

解：（Ⅰ）当
时，所以子集：
，
，
，
，
，
，
．

（Ⅱ）
的子集可分为两类：

第一类子集中不含有
，这类子集有
个；

第二类子集中含有
，这类子集成为
的子集与
的并，或为
的单元素子集与
的并，共有
个．

所以
．

因为
，
，

所以
，
，
，
，
，
．

（Ⅲ）因为
， ①

所以
②

①②得

所以
．