昌江一中2014届高三第四次月考

数学试题（文科）

命题：周晓定、金运明、石伟德

本试卷满分150分，考试时120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.）

1、设
是虚数单位，若复数

是纯虚数，则
的值为（ ）

A.-3 B. -1 C.1 D.3

2、已知全集
,集合
, 若
∩
≠
，则
等于（ ）

A.
B.
C.
或
D.
或

3、已知命题
，命题
，则(
)

A.命题
是假命题 B.命题
是真命题

C.命题
是真命题 D.命题
是假命题

4、设等差数列
的公差为d，若
的方差为1，则d等于( )

A.
B. 1 C.
D. ±1

5、 按如下程序框图，若输出结果为S=170，则判断框内应补充的条件为( )

A．
B．
C．
D．

6、已知
，则
（ ）

A．
B.
C.
D.

7、在直角坐标系xOy中，已知A（(1，0），B（0，1），则满足
且在圆
上的点P的个数为（ ）

A.0 B. 1 C.2 D.3

8、抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：－y2＝1的左焦点的连线交C1于第二象限内的点M．若C1在点M处
的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )

A． B． C． D．

9、如图，正方体
的棱长为
，以顶点A为球心，2为半径作一个
球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于（ ）

A.
B.

C.
D.

10、已知定义在[1，
+∞
）上的函数

，则( )



A．函数

的值域为[1，4]；



　



B．关于
的方程
（n∈N*）有
个不相等的实数根;



　



C．当x∈[2n﹣1，2n]（n∈N*）时，函数
的图象与
轴围成的面积为2;



　[来源:学科网ZXXK]



D．存在实数
，使得不等式
成立



二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

11、已知
若
为实数，
∥
，则
的值为 ．

12、 设不等式组
表
示的平面区域为M，若直线l：
上存在区域M内的点，则k的取值范围是　 　．

13、在2014年3月15日那天，景德镇物价部门对市内的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

价格x

9

9.5

10

10.5

11



销量y

11

10

8

6

5



根据上表可得回归直线方程是：
则
__________.

14、已知函数
，则同时满足
和
0的点
所在平面区域的面积是 。

15、已知
+
=2,若
对任意实数
恒成立，则
的取值范围是
。

三、解答题（共6小题，共75分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）

16、（本小题满分12分）

我校某班50名学生在二检数学考试中，成绩都属于区间[60，110]。将成绩按如下方式分成五组：第一组[60，70）；第二组[70，80）；第三组

[80，90）；第四组[90，100）；第五组[100，110]。

部分频率分布直方图如图3所示，及格（成绩不

小于90分）的人数为20。

（1）请补全频率分布直方图；

（2）在成绩属于[60，70）∪[100，110]的学生中任取两人，

成绩记为
，求
的概率；

17、（本小题满分12分）

已知向量

（1）若
的值；

（2）记
，在
中，角A、B、C的对边分别是
，且满足
，求
的取值范围。

18、（本小题满分12分）

等差数列
的各项均为正数，
，前
项和为
；
为等比数列，
,且
，
.

（Ⅰ）求通项公式
与
； (Ⅱ)求

19、（本小题满分12分）如图，四棱锥
都是边长为
的等边三角形.

（I）证明：

（II）求点

20、（本小题满分13分） 设函数
，其中
，区间
.

（Ⅰ）求
的长度（注：区间
的长度定义为
）;

（Ⅱ）给定常数
，当
时，求
长度的最小值.

21、 (本小题14分) 已知椭圆
的离心率为
， 且直线

是抛物线
的一条切线。

(1)求椭圆
的方程；

(2)过点
的动直线
交椭圆
于
A、B两点，试问：在直角坐标平面上

是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T

的坐标；若不存在，请说明理由。

[来源:Z+xx+k.Com]

昌江一中2014届高三第四次月考数学试题（文科）答案：

一.选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

D

C

C

C

A

C

D

D

C



11.
; 12.
; 13.40 ; 14.
;
15.

16．解：（1）由图得，成绩在
的人数为4人，

所以在
的人为16人，

所以在
的频率为
．………2分

在
的频率为
． ………4分

补
全的频率分布直方图如图所示．………6分

（2）由图得：成绩在
的有3人，

设为
；

在
的为4人，设为
．

则所取两人总共有：

这21种；………9分

其中满足
有
这12种

所以
的概率为
………12分

17．（1）m?n=
=
[来源:学科网]

=2
，

∵m?n=2,

∴
．…………4分

=
．…………6分

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC,

由正弦定理得
,

∴
,

∴
．∵
,

∴
，且
,∴
．…………8分

∴
,∴
．…………10分

又∵f（x）=m?n＝2
，∴f（A）=2
．

故f（A）的取值范围是（2,3）．…………12分

18. 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.

依题意有解得或(舍去) ……4分

故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. ………………………6分

(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
…………8分

所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝…10分

＝ ＝－
………………………12分

19.

20.（1）令

解得

的长度

（2）
则

由 （1）

，则

故
关于
在
上单调递增，在
上单调递减.

21.解：（I）由
得

直线
是抛物线
的一条切线。所以
[来源:学§科§网Z§X§X§K]

所以椭圆
…………………………5分

（Ⅱ）当直线l与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为

当直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为

所以两圆的交点为点（0，1）猜想：所求的点T为点（0，1）.…………8分

证明如下。当直线l与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点（0，1）

当直线l与x轴不垂直时，可设直线l为：

由
得
设
则

所以
，即以AB为直径的圆过点（0，1）

所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T. ……………………13分

[来源:学科网ZXXK]