江苏省镇江市2014届高三期末考试数学试卷

2014.01

第Ⅰ卷

注意事项：

1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分。七试卷满分160分，考试时间120分钟。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用
毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置。答题卡不折叠，无破损。

3.答题时，必须用书写黑色字迹的
毫米签字笔写在答题卡的指定位置，其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，交请加黑加粗，描写清楚。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。

⒈已知集合
，
，且
，则实数
的值为 。

⒉已知算数
满足
，则
。

⒊点
关于点
对称的点的坐标为 。

⒋我市开展的“魅力教师”学生原创网文大赛，各校上传文章的时间为3月1日到30日，评委会把各校上传的文章按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）。已知从左至右各长方形的高的比为
，第二组的频数为180.那么本次活动收到的文章数是 。

⒌执行上面的流程图，输出的结果
。

⒍在等差数列
中，已知
，则数列
的前10项的和
。

⒎设函数
则在区间
上随机取一个数
，
的概率为 。

⒏“
”是“直线
与直线
互相垂直”的 条件（在“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”、 “既不充分又不必要”中选一个合适的填空）。

⒐已知
中，点D，E分别为边AC，AB上的点，且DA=2CD，EB=2AE，若
，
，则以
为基底表示
。

⒑若
，且
，则
的值为 。

⒒已知定义在实数集R上的偶函数
，当
时，
；则不等式
的解集为 。

⒓如果双曲线
的渐近线与抛物线
相切，则该双曲线的离心率为 。

⒔设函数
，则方程
根的个数为 。

⒕已知
，若不等式
恒成立，则实数
的最大值为 。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。靖在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

⒖（本小题满分14分）已知
的面积为S，且
。

⑴求B的大小；

⑵若
，且
，试求
最长边的长度。

⒗（本小题满分14分）已知
，函数
。

⑴若不等式
对任意
恒成立，求实数
的最值范围；

⑵若
，且函数
的定义域和值域均为
，求实数
的值。

⒘（本小题满分14分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销。某品牌口罩原来每只成本为6元。售价为8元，月销售5万只。

⑴据市场调查，若售价每提高
元，月销售量将相应减少
万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？

⑵为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价
（
）元，并投入
万元作为营销策略改革费用。据市场调查，每只售价每提高
元，月销售量将相应减少
万只。则当每只售价
为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润。

⒙（本小题满分16分）椭圆
（
）的左、右焦点分别为
，右顶点为A，直线
过
交椭圆于B，C两点。

⑴如果直线
的方程为
，且
为直角三角形，求椭圆方程；

⑵证明：以A为圆心，半径为
的圆上任意一点到
的距离之比为定值。

⒚（本小题满分16分）已知实数
，且
，
为自然对数的底数，函数
，
。

⑴如果函数
在R上为减函数，求
的取值范围；

⑵如果
，求证：方程
有且有一个根
；且当
时，有
成立；

⑶定义：①对于闭区间
，称差值
为区间
的长度；②对于函数
，如果对任意
（D为函数
的定义域），记
，
的最大值称为函数
在区间
上的“身高”。

问：如果
，函数
在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？

⒛（本小题满分16分）已知数列
的首项
，且存在常数
（其中
），使得
与
对任意正整数
都成立；数列
为等差数列。

⑴求常数
。并写出数列
的通项公式；

⑵如果
满足条件：①
为正整数；②公差为1；③项数为
（
为常数）；④
，试求所有满足条件的
值。

⑶如果数列
与数列
没有公共项，数列
与
的所有项按从小到大的顺序排列成：
，且
成等比数列，试求满足条件的所有数列
的通项公式。

第Ⅱ卷（理科附加卷）

注意事项：

1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用。本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多作答，则按所答题中的前2题计分。第22，23题为必答题，每小题10分，共40分，考试时间30分钟。

2.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填写在答题卡的指定位置。

3.请在答题卡对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用
毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。本卷考试结束后，上交答题卡。

4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，交请加黑加粗，描写清楚。

5.请保持答题卡卡面清洁，不折叠，无破损。一律不准使用胶带、修正液、可擦洗的圆珠笔。

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。每小题10分，共计20分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A．（选修4－1：几何证明选讲）如图，已知AB是圆O的直径，圆O交BC于D，过点D作圆O的切线DE交AC于点E，且DE⊥AC。求证：AC=2OD。

B．（选修4－2：矩阵与变换）已知矩阵

的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量。

C．（选修4－4：坐标系与参数方程）求经过极坐标为
，
，
三点的圆的直角坐标方程。

D．（选修4－5：不等式选讲）已知正数
满足
，求
的最小值。

【必做题】第22题、第23题为必做题，每题10分，共计20分。解答时就写出说明、证明过程或演算步骤。

22．（本小题满分10分）已知曲线C：
。

（1）求曲线C在点
处的切线方程；

（2）过原点O作直线
与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

23．（本小题满分10分）已知数列
满足
，
。

（1）试计算
的值；

（2）猜想
与
（其中
）的大小关系，并证明你的猜想。