昌平区2014年高三年级第二次统一练习（二模）

数 学 试 卷（理 科） 2014.4

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

(1) 已知集合
,
, 则

(A)
(B)
(C)
(D)

(2) “
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

(3) 设
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

(4)
的展开式中
的系数是

（A）
（B）
（C）
（D）

(5) 在
中，
，
，则
等于

（A）
（B）
（C）
或
（D）
或

(6) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）
（B）

（C）
（D）

(7) 如图，
是半圆
的直径，
是弧
的三等分点，
是线段
的三等分点，若
，则
的值是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知
，若函数
只有一个零点，则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第二卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

(9) 若数列
满足：
，则
_______ .

(10)圆
：
的圆心到直线
的距离为_________ .

(11)如图，已知
中，弦
,
为
直径. 过点
作
的切线，交
的延长线于点
，
.则
____ .

（12）已知抛物线
的焦点为
，则
________，

过点
向其准线作垂线，记与抛物线的交点为
，则
_____.

（13）选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种 .

(14) 已知正方体
的棱长为2，在四边形
内随机取一点
,则
的概率为_______ ，
的概率为_______.

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

已知函数

.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）当
时，求
的取值范围.

(16)(本小题满分13分)

某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从
道备选题中一次性随机抽取
道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中
道题的便可通过.已知
道备选题中应聘者甲有
道题能正确完成,
道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是
,且每题正确完成与否互不影响.

(Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望；

(Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？

(17)(本小题满分14分)

已知正四棱柱
中，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使得平面

平面
，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.

(18)(本小题满分13分)

已知函数
,
.

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）当
时，若对于任意的
，都有
成立，求
的取值范围.

(19)(本小题满分13分)

已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
为短轴的一个端点，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）如图，过右焦点
，且斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.

求证:
为定值.

(20)(本小题满分14分)

已知数列
的各项均为正数，记
,
,

.

（Ⅰ）若
，且对任意
，三个数
组成等差数列，求数列
的通项公式.

（Ⅱ）证明：数列
是公比为
的等比数列的充分必要条件是：对任意
，三个数
组成公比为
的等比数列.

昌平区2014年高三年级第二次统一练习

数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.4

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

B

A

C

D

C

A

C

D





二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

（9）
（10）

（11）
（12）
；

（13）
（14）
；

（第一空2分，第二空3分）

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为

………1分

， ………3分

所以
. ………6分

（或
………3分）

（Ⅱ）因为

所以
. ………8分

所以
.

所以
. ………10分

所以
.

所以
. ………12分

所以
的取值范围为
. ………13分

(16)(本小题满分13分)

解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为
, 则
的取值分别为
. ………1分

；

；

； ………3分

考生甲正确完成题数
的分布列为

1

2

3















. ………………4分

设乙正确完成面试的题数为
，则
取值分别为
. ………………5分

；

,

,

. ………………7分

考生乙正确完成题数
的分布列为:

0

1

2

3

















. ………………8分

(Ⅱ)因为
, ……………10分

. ……12分

（或
）.

所以
.

(或：因为
,
,

所以
. )

综上所述，

从做对题数的数学期望考查,两人水平相当；

从做对题数的方差考查,甲较稳定；

从至少完成
道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. ……………13分

（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.）

(17)(本小题满分14分)

证明：(Ⅰ)因为
为正四棱柱，

所以
平面
，且
为正方形. ………1分

因为
平面
，

所以
. ………2分

因为
,

所以
平面
. ………3分

因为
平面
,

所以
. ………4分

(Ⅱ) 如图，以
为原点建立空间直角坐标系
.则

………5分

所以
.

设平面
的法向量
.

所以
.即
……6分

令
，则
.

所以
.

由（Ⅰ）可知平面
的法向量为
. ……7分

所以