北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）

数学（理科）试卷 2014.4

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、 选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符

合题目要求的一项.

1.复数
等于

A.
B.
C.
D.

2.已知
，
，
，则

A.
B.
C.
D.

3.已知向量
，
，若
与
垂直，则实数

A.
B.
C.
D.

4.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为
的正方形，俯视图

是一个直径为
的圆，那么这个几何体的侧面积为

A.
B.

C.
D.

5.“
”是“函数
为奇函数”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的

值是

A．
B．

C．
D．

7.已知双曲线
（
），与抛物线
的准线交于
两点，
为坐标原点，若
的面积等于
，则

A．
B．
C．
D．

8.已知函数
其中
表示不超过
的最大整数，

（如
,
,
）.若直线
与函数
的图象恰有三个不同的交点，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.

9.在极坐标系中，点
到极轴的距离是

10.已知等比数列
的各项均为正数，若
，
，则

此数列的其前
项和

11.如图，
是圆
的直径，
，
为圆
上一点，过
作圆
的切线交
的延长线于点
.若
，

则

12.对甲、乙、丙、丁
人分配
项不同的工作 A、B、C、D，每人一项，其中甲不能承担A项工作，那么不同的工作分配方案有
种.（用数字作答）

13.在
中，角
所对的边分别为
. 若
，
，

则

14.已知点
在由不等式
确定的平面区域内，则点
所在的平面区域面积是

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数
的图象过点
.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期及最大值.

16. （本小题共13分）

甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”， 在相同的条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：

甲 86 77 92 72 78

乙 78 82 88 82 95

（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；

（Ⅱ）现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅲ）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于
分的次数为
，求
的分布列和数学期望
.

17. （本小题共14分）

如图：在四棱锥
中，底面
是正方形，
，

，点
在
上，

且
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段
上存在点
，

使
∥平面
，并求
的长.

18. （本小题共13分）

已知函数
，其
中为常数，
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）是否存在实数
,使
的极大值为
?若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.

19. （本小题共14分）

已知椭圆
的两个焦点分别为
和
,离心率
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设直线
（
）与椭圆
交于
、
两点，线段
的垂直平分线交
轴于点
，当
变化时,求
面积的最大值.

20. （本小题共13分）

已知集合
，

具有性质
：对任意的

，
至少有一个属于
.

（Ⅰ）分别判断集合
与
是否具有性质
；

（Ⅱ）求证：①
；

②
；

（Ⅲ）当
或
时集合
中的数列
是否一定成等差数列?说明理由.

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高三数学（理科）试卷参考答案及评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

B

A

D

C

B



二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分

9.
；10．

；11.
，
；12．
；13．
；14.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由已知函数

————3分

的图象过点
，

，————5分

解得
————7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数
———9分

最小正周期
，———11分

最大值为
.————13分

16.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）茎叶图

————3分

（Ⅱ）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好.

————6分

（Ⅲ）记甲“高于80分”为事件A，

，
————8分

的可能取值为
.

分布列为：

 0

 1

 2

 3















 ————11分

————13分

17．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）证明：

，
，

，同理
————2分

又
，

平面
.———4分

（Ⅱ）以
为原点，
分别为
轴建立空间直角坐标系，

则
———6分

平面
的法向量为
，

设平面
的法向量为
———7分

，由
，

，取


，———8分

设二面角
的平面角为

，
二面角
的余弦值为
.———10分

（Ⅲ）假设存在点
，使
∥平面
，

令
，
———12分

由
∥平面
，

，解得

存在点
为
的中点，即
. ———14分

18．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
，
，

，———1分

，

———3分

则曲线在
处的切线方程为
.———5分

（Ⅱ）

的根为
，———6分

，

当
时，
，

在
递减，无极值；——8分

当
时，
，
在
递减，在
递增；

为
的极大值，———10分

令
，
，

在
上递增，

，

不存在实数
，使
的极大值为
.———13分

19．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在
轴上，
，
，

，
，———2分

椭圆
的方程为
———4分

（Ⅱ）
，消去
得

直线
与椭圆有两个交点，

，可得
（*）———6分

设
，

，
，弦长
，———8分

中点
， 设
，

，

，

，
———11分

，

时，
，——14分

（或：

.

当且仅当
时成立，
.（用其它解法相应给分）

20．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）


集合
具有性质
，

，
，
集合
不具有性质
.———3分

（Ⅱ）由已知
，

，

则
，仍由
知
；———5分

，

，

———6分

将上述各式两边相加得

，即
；———8分

（Ⅲ）当
时，集合
中的数列
一定是等差数列.

由（Ⅱ）知
，且
，

故
，而这里
，反之若不然

这与集合
中元素互异矛盾，
只能
，即

成等差数列. ———9分

当
时，集合
中的元素
不一定是等差数列.

如
，
中元素成等差数列，

又如
，
中元素不成等差数列；———11分

当5时，集合
中的元素
一定成等差数列

证明：

令
①
②

②
①有
，且由①

，

，

又
，

成等差数列. ———13分