正阳高中2013—2014学年度上期三年级第二次素质检测

数
学 试 题（理）

命题人：张剑岭 审题人：王伟、彭长亮

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．复数
（
为虚数单位）的虚部是（ ）

A．
B．
C．
D．

2．设全集
为实数集
，
，
，则阴

影部分所表示的集合是（ ）

A．
B．

C．
D．

3．“
”是“向量
与向量
共线”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D
．既不充分也不必要条件

4．下列选项
中，为
的二项展开式中的一项的是（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴的正半轴重合，终边过
与曲线
的交点，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

6．若
，
，
，则
、
、
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．已知函数
的部分图像如图所示，

则
的图像可由函数
的图像（纵坐标不变）（ ）

A．先把各点的横坐标缩短到原来的
倍，再向右平移
个单位

B．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
个单位

C．先向右平移
个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍

D．先向右平移
个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的
倍

8．若
，则
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设函数
是定义在
上的以7为周期的奇函数，若
，
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，以
为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为
，则此双曲线的方程为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
（
且
），设
是
的零点的最大值，则下列论断一定错误的是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知数列
的前
项和为
，且
，则使不等式
成立的
的最大值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知
是等差数列，
，其前5项和
，则其公差
．

14．如图，函数
，
，若输入的
值为3，则输出的
的值为 ．

15．某几何体的三视图如
图所示，则该几何体的体积为 ．

16．已知函数
，对任意的

，都有
，则最

大的正整数
为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1
7．（本小题满分12分）

在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，且满足
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）已知函数
，求
的最大值．

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面
为正方形，
平面
，
为
上的点，且
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值
．

19．（本小题满分12分）

某数学教师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：



（Ⅰ）求表中
、
的值及分数在
范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在
内为及格）；

（Ⅱ）从成绩在
范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在
内的人数为
，求
的分布列及数学期望．

20．（本小题满分12分）

已知点
是椭圆
：
上一点，
、
分别为
的左、右焦点，
，
°，
的面积为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设
，过点
作直线
，交椭
圆
异于
的
、
两点，直线
、
的斜率分别为
、
，证明：
为定值．

21．（本小题满分12分）

己知函数
．

（Ⅰ）若
是
的极值点，讨论
的单调性；

（Ⅱ）当
时，证明：
．

选做题：请考生在第22、
23两道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，
为圆
的直径，
为垂直于
的一条弦，垂足为
，弦
与
交于点
．[来源:学科网]

（Ⅰ）证明：
、
、
、
四点共圆；

（Ⅱ）证明：
．

23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）若不等式
的解集为
，求实数
的取值范围．

河南正阳高级中学2013～2014学年度

高三上期第二次质检数学试题（理）参考答案

1．【答案】D

【解析】试题分析：

注意弄清概念，复数
的虚部是
而不
是
.本题易错选
.

考点：复数的运算及基本概念

2．【答案】D

【解析】试题分析：根据图像可知阴影部分为
，由
可得
；由
可得
；所以
,故选D.

考点：集合的基本运算.

3．【答案】A

【解析】
试题分析：由“向量
与向量
共线”得
．故选A．

考点：1、向量共线的充要条件；2、常用逻辑用语．

4．【答案】D

5．【答案】A

6．【答案】A

【解析】试题分析：P=
=
=1；

Q=
=
=1；R=
=
，故选A.

考点
：定积分

7．【答案】D

【解析】试题分析：由图像可知，
，周期
，即
；当
时，函数取得最大值，则
，则
，又
，即
.则
，则将函数
的图像先向右平移
个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的
倍即可得到
的图像.

考点：1.根据图像求正弦型函数解析式；2.三角函数的周期、相位变换.

8．【答案】B[来源:学*科*网]

【解析】试题分析：

.

考点：同角三角函数基本关系式、二倍角正弦公式.

9．【答案】B　∵f(2014)＝f(5)＝f(－2)＝－f(2)＜－1，

∴＜－1，解得0＜a＜3.

10．【答案】C

11．【答案】D

12．【答案】B



13．【答案】

【解析】试题分析：
，
，
，又因
为
得:
.

考点：等差数列的基本性质，前n项和公式，考查学生基本运算能力以及转化与化归能力.

16．【答案】

17．【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)1+
.

【解析】

试题分析：（1）利用正弦定理，结合A、B的范围求出求角B的大小；(Ⅱ)把C用A来
表示，在

＝１时取最大值.

试题解析：(Ⅰ)∵ (2A-C)CosB=bCosC　　∴ 由正弦定理得
又∵
∴

(Ⅱ)

考点：1、正弦定理的应用；2、三角函数的最值．

18．【答案】





19．【答案】

[来源:学科网]

20．【答案】

21．【答案】[来源:学科网]

22．【答案】

23．【答案】[来源:学科网]

（Ⅰ）f(x)＝ …2分

当x≤－1时，f(x)≥2不成立；