北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模）

数 学 试 卷（文 科） 2014.4

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）

(1) 在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

(2) 已知等差数列
中，
，则
的前10项和为

（A）
（B）
（C）
（D）

(3) 在
中，若
，则
的大小为

（A）
（B）
（C）
（D）

(4) 已知命题
使得
；命题
.则下列命题为真命题的是

（A）
（B）
（C）
（D）

(5) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）
（B）

（C）
（D）

(6) 下列函数中，对于任意的
，满足条件
的函数是

（A）
（B）
（C）
（D）

(7)假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍.

若投资的时间为
天，为使投资的回报最多，你会选择哪种方案投资？

（A）方案一 （B）方案二 （C）方案三 （D）都可以

(8) 已知
，若
恒成立，则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第二卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

(9) 若直线
与直线
平行，则
______ .

(10) 已知实数
满足
则
的最小值为_____ .

(11) 已知双曲线
的焦距为
，一条渐近线的斜率为
，则此双曲线的标准方程为______，焦点到渐近线的距离为_____ .

(12) 执行右边的程序框图，若输入的N是4，

则输出p的值是______ .

(13)已知矩形
中，
，在矩形
内随机取一点
,则
的概率为__________ .

(14) 在边长为2的菱形
中，
，若
为
的中点，则
的值为____;若点
为
边上的动点，点
是
边上的动点，且
，
，
，则
的最大值为________ .

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

已知函数

,
.

（Ⅰ）求
的最小正周期及值域；

（Ⅱ）求
单调递增区间.

(16)(本小题满分13分)

某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟），从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（Ⅰ）根据图中数据求
的值

（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取

6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组

各抽取多少名新生？

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

(17)(本小题满分14分)

已知正四棱柱
中，
是
的中点.

（I）求证：
平面
；

（II）求证：
；

（III）在线段
上是否存在点
，当
时，平面
平面
？若存在，求出
的值并证明；若不存在，请说明理由.

(18)(本小题满分13分)

已知等差数列
的前
项和为
，公差
，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

(Ⅱ)设数列
是首项为1，公比为
的等比数列，求数列
的前n项和
.

(19)(本小题满分13分)

已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）如果对于任意的
，都有
，求
的取值范围.

(20)(本小题满分14分)

已知椭圆
的焦点为
，点
是椭圆
上的一点，
与
轴的交点
恰为
的中点，
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若点
为椭圆的右顶点，过焦点
的直线与椭圆
交于不同的两点
,求
面积的取值范围.

北京市昌平区2014届高三4月第二次统练（二模）

数学试卷（文科）参考答案及评分标准 2014.4

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

题 号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）



答 案

A

C

C

B

A

C

B

D





二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）

（9）
（10）

（11）
；
（12）

（13）
； （14）
；

（注：第一空2分，第二空3分）

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

(15)(本小题满分13分)

解：(Ⅰ) 因为

………1分

………3分

， ………4分

所以
. ………6分

因为
，

所以
. ………7分

所以
.

所以
的值域为
. ………8分

(Ⅱ) 因为
， ………10分

所以
. ………11分

所以
. ………12分

所以函数
的单调递增区间为
. ………13分

(16)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为
, ………1分

所以
. ………2分

（Ⅱ）依题意可知，

第3组的人数为
，

第4组的人数为
，

第5组的人数为
.

所以3、4、5组人数共有60. ………3分

所以利用分层抽样的方法在60名学生中抽取6名新生,分层抽样的抽样比为
. ………4分

所以在第3组抽取的人数为
人 ，

在第4组抽取的人数为
人，

在第5组抽取的人数为
人， ………7分

（Ⅲ）记第3组的3名新生为
,第4组的2名新生为
,第5组的1名新生为
.则从6名新生中抽取2名新生，共有:

,共有15种. …………9分

其中第4组的2名新生
至少有一名新生被抽中的有:

共有9种, …………11分

则第4组至少有一名新生被抽中的概率为
…………13分

(17)(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）在正四棱柱
中,连结
交
于
，连结
.

因为
为正方形，

所以
为
中点. ………1分

在
中，

因为
为
中点，

所以
∥
. ………2分

因为

平面
，

平面
， ………4分

所以
∥平面
. ………5分

(Ⅱ) 因为
为正方形，

所以
. ………6分

因为
平面
，

所以
. ………7分

因为
, ………8分

所以
平面
. ………9分

因为
，

所以
. ………10分

（Ⅲ）当
，即点
为线段
的中点时，平面
平面
.…11分

因为
且
，

所以四边形
是平行四边形.

所以
. ………12分

取
的中点
，连结
.

因为
为
中点，

所以
且
，

所以四边形
是平行四边形.

所以
. ………13分

同理
.

所以
.

因为
，
，

所以平面
平面
. ………14分

(18)(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）因为公差
，且
，

所以
. ………2分

所以
. ………4分

所以等差数列
的通项公式为
. ………5分

(Ⅱ)因为数列
是首项为1，公比为
的等比数列，

所以
. ………6分

所以
. ………7分

（1）当
时，
. ………8分

所以
. ………9分

（2）当
时，

因为
① ………9分

②………10分

①-②得

………11分

………12分

………13分

(19)(本小题满分13分)

解：(Ⅰ) 因为
， ………1分

因为
，

所以
. ………2分

所以

.

令
，解得
. ………3分

随着
的变化，
和
的变化情况如下：

















0



0







↘



↗



↘



 即
在
和
上单调递减，在
上单调递增. ………6分

(Ⅱ) 因为对于任意的
，都有
，

即
，

所以
. ………8分

设
.

因为
， ………9分

又因为
，

所以
. ………10分

所以
.

所以
在
上单调递增. ………11分

所以
. ………12分

即
. ………13分

(20)(本小题满分14分)

解：（I）因为
为
的中点，
为
的中点，
，

所以
，且
. ………1分

所以
.

因为
，

所以
. ………2分

因为
, ………3分

所以
.

所以椭圆
的方程为
. ………4分

（Ⅱ）设过点
的直线
的斜率为
,显然
.

（1）当
不存在时，直线
的方程为
，

所以
.

因为
，

所以
. …………5分

（2）当
存在时，设直线
的方程为
.

由
,消
并整理得:

. …………6分

设
,则

，
. …………7分

因为

， …………8分

又因为点
到直线
的距离
， …………9分

所以

…………10分

设
，则

. …………11分

因为
,

所以
.

因为函数
在
上单调递增， …………12分

所以
.

所以
.

所以
.

所以
.

所以

所以
. …………13分

综合（1）（2）可知
. …………14分

【各题若有其它解法，请酌情给分】