南通市2014届高三第二次调研测试

数学学科参考答案及评分
建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1． 已知集合
，则
▲ ．

【答案】
．

2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ．

【答案】
．

3． 复数
（其中i为虚数单位）的模为 ▲ ．

【答案】
．

4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的

??方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，
则

??该样本中产品的最大编号为 ▲ ．

【答案】76．

5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的
的值为 ▲ ．

【答案】48．

6． 若
，则
a的取值范围是 ▲ ．

【答案】
．

7． 若函数
为奇函数，其图象的一条切线方程为
，则b的值为 ▲ ．

?【答案
】
．

8. ? 设l，m表示直线，m是平面
内的任意一条直线．则“
”是“
”成立的 ▲ 条件．[来源:Z+xx+k.Com]

（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）

【答案】充要．

9． 在平面直角坐标系xOy中，设
是半圆
：
（
）上一点，直线
的倾斜角为45°，过点
作
轴的垂线，垂足为
，过
作
的平行线交半圆于点
，则直线
的方程是 ▲ ．

【答案】
．

10．在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则
的值为 ▲ ．

【答案】－36．

11．设x，y，z是实数，9x，12y，15z成等比数列，且
，
，
成等差数列，则
的值是 ▲ ．

【答案】．

12．设
是函数
的一个零点，则函数
在区间
内所有极值点之和为

▲ ．

【答案】

13． 若不等式(mx－1)［3m 2－( x + 1)m－1］≥0对任意
恒成立，则实数x的值为 ▲ ．[来源:Zxxk.Com]

【答案】1

14．设实数a，b，c满足a2＋b2 ≤c≤1，则a＋b＋c的最小值为 ▲ ．

【答案】
．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，已知
．求：

（1）AB的值；

（2）
的值．

【解】（1）（方法1）因为
， …………………………… 4分

所以
，即
，

亦即
，故
． …………………………… 7分

（方法2）设A，B，C的对边依次为a，b，c，

则由条件得
． …………………………… 3分[来源:Z.xx.k.Com]

两式相加得
，即
，故
． ……………… 7分

（方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c，

则由条件得
． …………………………… 3分

由余弦定理得
，

两式相加得
，故
．
…………………………… 7分

（2）
………………………… 10分

由正弦定理得


． ………… 14分

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中点．

求证：（1）CE∥平面PAD；

??（2）平面PBC⊥平面PAB．

【证】（1）（方法1）取PA的中点F，连EF，DF．…… 2分

因为E是PB的中点，所以EF // AB，且
．

因为AB∥CD，AB＝2DC，所以EF∥CD，……………… 4分

，于是四边形DCEF是平行四边形，

从而CE∥DF，而
平面PAD，
平面PAD，

故CE∥平面PAD． ……………………
7分

（方法2）取AB的中点M，连EM，CM． ……………… 2分

因为E是PB的中点，所以EM // PA．

因为AB∥CD，AB＝2DC，所以CM // AD．……………… 4分

因为
平面PAD，
平面PAD，

所以EM∥平面PAD．同理，CM∥平面PAD．

因为
，
平面CEM，

所以平面CEM∥平面PAD．而
平面PAD，故CE∥平面PAD．……………………… 7分

（2）（接（1）中方法1）因为PD＝AD，且F是PA的中点，所以
．

因为AB⊥平面PAD，
平面PAD，所以
． ……………………… 10分

因为CE∥DF，所以
，
．

因为
平面PAB，
，所以
平面PAB．

因为
平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB． ………………………… 14分

17．（本小题满分14分）

为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中

释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间
(单位：天)变化的函数关系式近似为

若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之

和．由实验知,当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．

（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天?

（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a（
）个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求
的最小值（精确到0.1，参考数据：
取1.4）．

【解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，

所以浓度

则当
时，由
，解得
，所以此时
．…………………… 3分

当
时，由
解得
，所以此时
．

综合得
，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． …………… 7分

（2）设从第一次喷洒起，经x（
）天，

浓度

．…… 10分

因为
，而
，

所以
，故当且仅当
时，y有最小值为
.

令
，解得
，所以a的最小值为
．……… 14分

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，设曲线
C1：
所围成的封闭图形的面积为

，曲线C1上的点到原点O的最短距离为
．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记

为C2．

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不

??重合）．

①若MO＝2OA，当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；

②若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的最小值．

【解】（1）由题意得
又
，解得
，
．

因此所求椭圆的标准方程为
． ………………………… 4分

（2）①设
，
，则由题设知：
，
．

即
解得
………………………8分

因为点

在椭圆C2上，所以
，

即
，亦即
．

所以点M的轨迹方程为
． ………………………10分

②（方法1）设
，则
，

因为
点A在椭圆C2上，所以
，即
（i）

又
（ii）

（i）+（ii）得
， ………………………13分

所以
.

当且仅当
（即
）时，
. ………………………16分

（方法2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)．

解方程组
得
，
， [来源:学.科.网Z.X.X.K]

所以
，
.

又
解得
，
，所以
．…………… 12分

（解法1）由于

，

当且仅当
时等号成立，即k＝±1时等号成立，

此时△AMB面积的最小值是S△AMB＝
． …………… 15分

当k＝0，S△AMB
；

当k不存在时，S△AMB
．

综上所述，△AMB面积的最小值为
． …………… 16分

（解法2）因为

，

又
，于是
，

当且仅当
时等号成立，即k＝±1时等号成立．（后同方法1）

19．(本小题满分16分)

设数列{an}的首项不为零，前n项和为Sn，且对任意的r，t
N*，都有
．

（1）求数列{an}的通项公式（用a1表示）；

（2）设a1=1，b1=3，
，求证：数列
为等比数列；

（3）在（2）的条件下，求
．

【解】（1）因为
，令
，
，则
，得
，即
．… 2分

当
时，
，且当
时，此式也成立．

故数列{an}的通项公式为
． …………… 5分

（2）当
时，由（1）知
，Sn＝n2．

依题意，
时，
， ……… 7分

于是
，且
，

故数列
是首项为1，公比为2的等比数列． …………… 10分

（3）由（2）得
，所以
． ……… 12分

于是
． ……… 15分

所以
． ……… 16分

20．(本小题满分16分)

设函数
，其图象与
轴交于
，
两点，且x1＜x2．

（1）求
的取值范围；

（2）证明：
（
为函数
的导函数）；

（3）设点C在函数
的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记
，求

的值．

【解】（1）
．

若
，则
，则函数
是单调增函数，这与题设矛盾．……………………… 2分

所以
，令
，则
．

当
时，
，
是单调减函数；
时，
，
是单调增函数
；

于是当
时，
取得极小值． ……………………… 4分

因为函数
的图象与
轴交于两点
，
(x1＜x2)，

所以
，即
．.

此时，存在
；

存在

，

又由
在
及
上的单调性及曲线在R上不间断，可知
为所求取值范围. ……………………………… 6分

（2）因为
两式相减得
．

记