北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）

数学（文科）试卷 2014.4

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、 选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合
,
,则集合

A.
B.
C.
D.

2.已知直线
与直线
平行，则实数
的值为

A.
B.
C.
D.

3.“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为
的正方形，俯视图

是一个直径为
的圆，那么这个几何体的体积为

A.
B.

C.
D.

5.已知向量
，
，若
与
垂直，则实数

A.
B.
C.
D.

6. 执行如图所示的程序框图，若输入
，

则输出
的值是

A．
B．
C．
D．

7.已知函数
若关于
的方程
有两个不等的实根，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

8.已知点
在抛物线
上，且点
到直线
的距离为
，则点
的个数为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.

9.某学校有初中生
人，高中生
人，教师
人，现采用分层抽样的方法，

从所有师生中抽取一个容量为
的样本进行调查.如果从高中生中抽取
人，则样本容量
.

10.复数

11. 双曲线
的渐近线方程为

12.已知
满足约束条件
则
的最小值为

13.在
中，角
所对的边分别为
.若
，
，

则

14.数列
的前
项和为
.若数列
的各项按如下规则排列：

则
若存在正整数
，使

，则

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知函数
的图象过点
.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期及最大值.

16. （本小题共13分）

甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：

甲 86 77 92 72 78

乙 78 82 88 82 95

（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；.

（Ⅱ）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；

（Ⅲ）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率.

17. （本小题共14分）

如图：已知长方体
的底面
是边

长为
的正方形，高
，
为
的中点，

与
交于
点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
∥平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

18. （本小题共13分）

已知数列
是公差为
的等差数列，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前
项和为
.

证明：
.

19. （本小题共14分）

已知椭圆
的两个焦点分别为
和
,离心率
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）若直线
（
）与椭圆
交于不同的两点
、
，且线段

的垂直平分线过定点
，求实数
的取值范围.

20. （本小题共13分）

已知函数
的图象在点
处的切线方程为

.

（Ⅰ）求实数
的值；

（Ⅱ）设
.

①若
是
上的增函数，求实数
的最大值；

②是否存在点
，使得过点
的直线若能与曲线
围成两个封闭图形，则

这两个封闭图形的面积总相等. 若存在，求出点
坐标；若不存在，说明理由.

北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）

高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

A

B

A

D

D

C



二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)其它答案参考给分

9.
；10．
；11.
；12．
；13．
；

14.

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由已知函数

的图象过点
，

，————3分

解得
————7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数
———9分

最小正周期
，———11分

最大值为
.————13分

16.（本小题共13分）

解：（Ⅰ）茎叶图

————3分

（Ⅱ）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方

差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好. ———6分

（Ⅲ）记事件A： 甲的成绩比乙高

从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：

共25个. ————9分

事件
包含的基本事件有

共7个————11分

————13分

17．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
底面
是边长为正方形，

底面
，
平面



————3分

，

平面
——5分

（Ⅱ）连结
，

为
的中点，
为
的中点

∥
，————7分

又
平面
，
平面

∥平面
————10分

（Ⅲ）

，
，

，

同样计算可得
，

为等腰三角形，————12分

，

，
等腰三角形
的高为

————14分

18．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）由已知
是公差为
的等差数列，

，又
，

————3分

————5分

（Ⅱ）

————7分

————9分

，
随
的增大而增大，

————11分

又
————12分

.————13分

19．（本小题共14分）

解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在
轴上，
，
，

，
，————2分

椭圆
的方程为
————4分

（Ⅱ）
，消去
得
————6分

直线
与椭圆有两个交点，

，可得
（*）————8分

设
，

，

中点的横坐标

中点的纵坐标
————10分

的中点

设
中垂线
的方程为：

在
上，

点坐标代入
的方程可得
（**）————12分

将
（*）代入解得
或
，

————14分

20．（本小题共13分）

解：（Ⅰ）
时，

，

————2分

在直线
上，

，即

————4分

，

（Ⅱ）①

是
上的增函数，

，

在
上恒成立，————6分

令
则
，

设
，

在
上恒成立————7分

恒成立，

， 实数
最大值为
————9分

②由
，

，

————11分

表明：若点
为
图象上任意一点，则点
也在图象上，

而线段
的中点恒为
；由此可知
图象关于点
对称.

这也表明存在点
，使得过
的直线若能与
图象相交围成封闭图形，

则这两个封闭图形面积相等. ————13分（其它解法相应给分）.