重庆市万州区2014届高三考前模拟

数学（文）试题

满分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）己知i为虚数单位，复数
的虚部是

（A）
（B）一
（C）一
i （D）
i

（2）重庆市教委为配合教育部公布高考改革新方案，拟定在重庆彳中学进行调研，广泛征求高三年级学生的意见．重庆么中学高三年级共有700名学生，其中理科生500人，文科生200人，现采用分层抽样的方法从中抽取14名学生参加调研，则抽取的理科生的人数为

（A）2 （B）4 （C）5 （D）10

（3）下列函数中，既是偶函数，又在区间[-1，0]上是减函数的是

（A）y=cosx （B）y=x2 （C）y=log2x （D）y=ex—e-x。

（4）设集合A= {-1，0，2），集合
，则B=

（A）{1} （B）{一2} （C）{-1，-2} （D）{-1，0}

（5）若p是q的必要条件，s是q的充分条件，那么下列推理一定正确的是

（6）执行如题（6）图所示的程序框图，

则输出的a为

（A） 20

（B） 14

（C） 10

（D）7

（7）某几何体的三视图如题（7）图所示，其侧视图是一个边长为l的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成

（8）设A、P是椭圆
两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP、BP分别交x轴于点M、N，则

（A）0 （B）1 （C）
（D）2

（9）对任意的实数x，y，定义运算
值是

（A）a （B）b （C）c （D）不确定

（10）已知△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于点E、F，若

的最小值是

（A）1 （B）
（C）
（D）

4

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相对应位置上．

（11）已知
。

（12）若正项等比数列
满足：
。

（13）已知函数f（x）的导函数为
。

（14）若关于x的不等ax>b的解集为
，则关于x的不等式
的解集为 。

（15）已知平面区域
，直线
有两个不同的交点，直线l与曲线C围成的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若
，则实数所的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（16）（本小题满分13分）

为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了聊位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20，25），[25，30），[30，35]，得到如题（16）图所示的频率分布直方图．已知生产的产品数量在[20，25）之间的工人有6位．

（I）求m；

（II）工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机的选取2位工人进行培训，求这2位工人不在同一组的概率．

（17）（本小题满分13分）

已知向量
的最小正周期为
．

（I）求ω的值； ．

（II）设△ABC的三边a、b、c满足：b2=ac，且边b所对的角为x，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．

（18）（本小题满分13分）

设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知

（I）求an。

（II）设
，数列
的前n行和记为Tn，求证：

（19）（本小题满分12分）

已知直四棱柱
的底面ABCD为正方形，
，E为棱
的中点．

（I）求证：
；

（II）设F为AD中点，G为棱
上一点，且

求证：FG∥平面BDE．

（20）（本小题满分12分）

已知函数

（I）若函数
内单调递增，求a的取值范围；

（II）若函数
处取得极小值，求a的取值范围．

（21）（本小题满分12分）

如题（21）图所示，离心率为
的椭圆
上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P的两条直线分别与椭圆交于点A、C和B、D，且满足
，其中λ为常数，过点P作AB的平行线交椭圆于M、N两点．

（I）求椭圆Ω的方程；

（Ⅱ）若点P（l，1），求直线MN的方程，并证明点P平分线段MN．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1～5 ADBAC 6～10 ACDAA

（10）提示：由题得
，又
三点共线，

则
，∴
，即

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）
（12）
（13）
（14）
（15）

（15）提示：如右图所示，设直线
与曲线
交于
两点，
的大小为
，

∴
的面积

扇形
的面积

∴阴影部分面积

∴

显然
，且
关于
递增，易得当
时，

，此时
；当
时，
，此时
；∴

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题得，
这一组的频率为
……………3分

∴
……………6分

（Ⅱ）由题得，
这一组的工人有
人，

这一组的工人有
人……………9分

从这两组中抽取
位工人共有
种不同的结果，其中
位工人不同组的结果有
种，

∴
位工人不同组的概率为
………………13分

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
…………4分

；…………6分

（Ⅱ）

…………3分

所以

，

由函数
的图象知，要有两个不同的实数解，需
，即
． ……13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，由题得
…………3分

解得
，
………………………………………5分

∴
……………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
…………………8分

∴
……………………………10分

∴

……………………12分

∴
………………13分

（19）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）连接
、
，题得由
，

，
………3分

∴
，即
同理，

∴
平面
…………………6分

（Ⅱ）过点
作
交
于点
，∵
，

∴
，∴
为等腰直角三角形，

，又
，∴
，

四边形
为平行四边形………………9分

∴
，又
平面
，∴
平面
……………12分

（20）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
…………2分

∵
在
内单调递增，∴
在
内恒成立，

即
在
内恒成立，即
在
内恒成立…………4分

又函数
在
上单调递增，∴
…………………6分

（Ⅱ）考查
的单调性，令
，即

∴
或
，即
或
（
）

∵
单调递增，设方程
的根为

①若
，则不等式组（
）的解集为
和
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，与
在
处取极小值矛盾；

②若
，则不等式组（
）的解集为
和
，此时
在
上单调递增，与
在
处取极小值矛盾；

③若
，则不等式组（
）的解集为
和
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，满足
在
处取极小值，

由
单调性，

综上所述，
………………………12分

（21）（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题得
，
，联立
解得
，
，
，

∴椭圆方程为
…………………4分

（Ⅱ）方法一：设
，由
可得
.

∵点
在椭圆上，故

整理得：
……………6分

又点
在椭圆上可知
，故有
……①

由
，同理可得：
……②

②-①得：
，即
…………………9分

又
∥
，故

∴直线
的方程为：
，即
.

由
可得：

∴
是
的中点，即点
平分线段
…………………12分

（Ⅱ）方法二：∵
，
，∴
，即

在梯形
中，设
中点为
，
中点为
，

过
作
的平行线交
于点

∵
与
面积相等，∴

∴
，
，
三点共线………………6分

设
，

∴
，
，

两式相减得
，

显然
，（否则
垂直于
轴，因
不在
轴上，此时
不可能垂直于
轴保持与
平行）且
（否则
平行于
轴或经过原点，此时
，
，
三点不可能共线）

∴

设直线
斜率为
，直线
斜率为

∴
，即
…… ①

设直线
斜率为
，直线
斜率为

同理，
，又
，∴
即
三点共线………8分

∴
四点共线，∴
，代入①得
……………9分

∴直线
的方程为
即

联立
得

∴点
平分线段
……………………12分