辽宁省铁岭高中2014届高三年级下学期第一次考试

数 学 试 卷（理）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 设集合
则

A.
B.
C.
D.

2. 给出下列四个命题:

①命题
,则
.

②当
时,不等式
的解集为非空.

③当
时,有
.

④设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=1-i

其中真命题的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

3. 已知
，
，则
（ ）

A.
B.
或
C.
D.

4. 已知等差数列
中，
，
，若
，则数列
的前5项和等于（ ）

A．30 B．45 C．90 D．186

5. 已知两个单位向量
与
的夹角为
，则
与
互相垂直的充要条件是（　 ）

A．
或
B．
或
　

C．
或
　 D．
为任意实数

6．已知某几何体的三视图如图所示，则该

几何体的表面积等于（ ）

A.
B.160 C.
D.

7.下面几个命题中，假命题是（ ）

A.“若
,则
”的否命题；

B.“
，函数
在定义域内单调递增”的否定；

C.“
是函数
的一个周期”或“
是函数
的一个周期”；

D.“
”是“
”的必要条件.

8．下列函数中在区间
上为增函数，且其图像为轴对称图形的是（ ）

A.
B.
C.
D.

9. 如图，等边三角形
的中线
与中位线
相交于
，已知
是△
绕
旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是(　　 )

A．动点
在平面
上的射影在线段
上

B．恒有平面
⊥平面

C．三棱锥
的体积有最大值

D．异面直线
与
不可能垂直

10.
中，角
的对边为
，向量
，

若
，且
，则角
的大小分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.设
，
，在
中，正数的个数是（ ）

A．25 B．50 C．75 D．100

12.函数
，则下列说法中正确命题的个数是（ ）

函数
有3个零点；

若
时，函数
恒成立，则实数
的取值范围是
；

③ 函数
的极大值中一定存在最小值；

④
，
，对于一切
恒成立．

A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

13．等比数列
满足
是方程
的两个根，且
，则
.

14．不等式组
表示的平面区域为
，若对数函数
上存在区域
上的点，则实数
的取值范围是__________.

15. 空间中一点
出发的三条射线
，两两所成的角为
，在射线
上分别取点
，使
，则三棱锥
的外接球表面积是______________.

16．关于函数
，有下列命题：

①其图象关于y轴对称；②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数；

③f(x)的最小值是lg2；④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；

⑤f(x)无最大值，也无最小值．

其中所有正确结论的序号是 ．

三、解答题

17． （本小题满分12分）

函数
，
,其中
,点
是函数
图像上相邻的两个对称中心，且

（1）求函数
的表达式；

（2）若函数
图像向右平移

个单位后所对应的函数图像是偶函数图像，

求
的最小值．

18. （本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用
表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

0

2

 3

 4

 5



 p

0.03

 P1

 P2

P3

P4



求q的值；

求随机变量
的数学期望E
;

试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

19. （本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，
平面
，
，

且

,点
为
的中点，点
在棱
的运动

（1）试问点
在何处时，
∥平面
，并证明你的结论；

（2）在（1）的条件下，且
，直线
与平面
的成角

的正弦值为
，求二面角
的大小.

20 （本小题满分12分）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率
，且椭圆C上一点
到点Q
的距离最大值为4，过点
的直线交椭圆
于点

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），当
时，求实数的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数
，

（1）若
，求函数
的极值；

（2）设函数
，求函数
的单调区间；

（3）若在
（
）上存在一点
，使得


成立，求
的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. （本小题满分10分）

22.选修4—1；几何证明选讲．

如图,已知
切⊙
于点E,割线PBA交⊙
于

A、B两点,∠APE的平分线和AE、BE分别交于点C、D.

求证:(Ⅰ)
; (Ⅱ)
.

23.选修4—4；坐标系与参数方程．

在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线

过点P(-2,-4)的直线
为参数)与曲线C相交于点M,N两点 (Ⅰ)求曲线C和直线的普通方程;

(Ⅱ)若|PM|,|MN|,|PN |成等比数列,求实数a的值

24．选修4—5；不等式选讲．

已知函数
.

(Ⅰ)当a = 3时,求不等式
的解集;

(Ⅱ)若
对
恒成立,求实数a的取值范围.

理科

B A C C A C D CD A D B

13----16题 9

16.①③④

17题

18. 解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25,
, P(B)= q,
.

根据分布列知:
=0时
=0.03,所以
，q=0.2.

（2）当
=2时, P1=

=0.75 q (
)×2=1.5 q (
)=0.24

当
=3时, P2 =
=0.01,

当
=4时, P3=
=0.48,

当
=5时, P4=

=0.24

所以随机变量
的分布列为

0

2

 3

 4

 5



 p

0.03

 0.24

 0.01

0.48

0.24



随机变量
的数学期望

（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为

;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

19.（1）略（2）中点 （2）

20.解析：（Ⅰ）∵
∴
（1分）

则椭圆方程为
即

设
则

当
时，
有最大值为

解得
∴
，椭圆方程是
（4分）

（Ⅱ）设
方程为

由
整理得
.

由
，得
.

（6分）

∴
则
,

由点P在椭圆上，得
化简得
① （8分）

又由
即
将
，
代入得

化简，得

则
, ∴
② （10分）

由①，得

联立②，解得
∴
或
（12分）

21. 解：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，
，
，



1







—

0

+







极小







所以
在
处取得极小值1.

（Ⅱ）
，