湖南省2014届高三六校联考

数学（理）试题

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．复数z满足（-1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点所在的象限为

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（l≤X≤5）=0．682 6，则P（X>5）=

A．0．158 8 B．0．158 7 C．0．158 6 D．0．158 5

3．如图所示，程序框图（即算法流程图）运算的结果是

A．5 B．6

C．7 D．8

4．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+
）内有1 006个零点，则f（x）的零点共有

A．1 006个 B．1 007个

C．2 012个 D．2 013个

5．在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b= 2ccos A，c=2bcos A，则△ABC的形状为

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

6．设{an}是等比数列，则“a1

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为

A．4
B．12

C．2
D．4

8．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为

A．432 B．288

C．216 D．144

9．已知双曲线T：
（a，b>0）的右焦点为F（2，0），且经过点R（
，0），△ABC的三个顶点都在双曲线T上，O为坐标原点，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为M，N，P，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，k1≠0，i=1,2,3．若直线OM,ON ,OP的斜率之和为-1．则
的值为

A．-1 B．
C．1 D．

10．已知f（x）是定义在（0，+
）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+
），都有f[f（x）－1og2x]=3，则方程f（x）－f′（x）=2的解所在的区间是

A．（0，
） B．（
，1） C．（1，2） D．（2，3）

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在极坐标系中，圆
的圆心到直线
sin
的距离为 ．

12．已知函数f（x）=log2（|x+l|+|x－2|－m）．若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，则m的取值范围为 。

13．如图，已知AB、AC、CE是圆的弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，且
,AF =3,FB=1,EF=
，则线段CD的长为 ．

（二）必做题（14－16题）

14．设
，则（2x一
）6展开式的常数项为 ．

15．已知实数x，y满足约束条
， 则
的最小值为 ．

16．在当今的信息化社会中，信息安全显得尤为重要，为提高信息在传输中的安全性，通常在原信息中按一定规则对信息加密，设定原信息为A0=a1a2…an，ai∈{0，1}（i=1，2，3…n），传输当中原信息中的1都转换成01，原信息中的0转换成10，定义这种数字的转换为变换丁，在多次的加密过程中，满足Ak=T（Ak－1），k=1，2，3，…．

（1）若A2：10010110，则A0为____ ；

（2）若A0为10，记AK中连续两项都是l的数对个数为lK，k=l，2，3，…，则lK= 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知a=（2cos x+2
sin x，1），b=（y，cos x），且a∥b．

（1）将y表示成x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；

（2）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b,c，若f（B）=3，
·
，且a+c=3+
，求边长b．

18．（本小题满分12分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按l小时计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为
，
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为
，
；两人租车时间都不会超过四小时．

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率，

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量
，求
的分布列与数学期望E
．

19．（本小题满分12分）

如图所示的几何体，四边形ABCD中，有AB∥CD，∠BAC=30o，AB=2CD=2，CB=1．点E在平面ABCD内的射影是点C，EF∥AC，且AC= 2EF．

（1）求证：平面BCE⊥平面ACEF;

（2）若二面角D－AF－C的平面角为60o，求CE的长，

20．（本小题满分13分）

有一海湾，海岸线近似为椭圆的一段弧NM，M、N为椭圆弧上两点，且MA⊥AB，NB⊥AB，AB间的距离为2公里，椭圆焦点为A、B，椭圆的短半轴长为
公里，在A、B处分别有甲、乙两个化工厂，AB的中点为O．准备在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，化工厂对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比（比例系数都为正常数m），与距离的平方成反比（比例系数都为正常数n），又知化工厂甲排出的废气浓度是化工厂乙的8倍，已知化工厂乙排出的废气浓度为d（d为常数，0

（1）求f（x）的表达式并求定义域；

（2）度假村P距离甲化工厂多少时，甲、乙两化工厂对度假村的废气污染程度和最小？

21．（本小题满分13分）

已知椭圆E：
（a>b>0）的两个焦点与一个顶点组成一个直角三角形的三个顶点，且椭圆E过点M（2，
），O为坐标原点．

（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
⊥
？若存在，写出该圆的方程，并求该切线在y轴上截距的取值范围及| AB|的取值范围；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分13分）

已知函数f（x）=
．

（1）若g（x）=（x-l）2f′（x）在（1，+
）是增函数，求实数a的取值范围；

（2）当a=1时，若f（x）>n恒成立，求满足条件的正整数n的最大值；

（3）求证：（1+1×3）×（1+3×5）×…×[1+（2n－l）（2n+l）]>e
．

参考答案