北京市房山区2014届高三4月模拟（一模）

数学（理）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知集合
，
，则

（A）

（B）



（C）

（D）



（2）已知等比数列
中，
，
，则公比

（A）

（B）



（C）

（D）



（3）参数方程
(
为参数)化为普通方程是

（A）

（B）



（C）

（D）



（4）当
时，双曲线
的离心率
的取值范围是



（A）

（B）



（C）

（D）



（5）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为

（A）

（B）



（C）

（D）





（6）在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有
名志
愿者要分配到
个不同的社区参加服务，每个社区分

配
名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有

（A）
种

（B）
种



（C）
种

（D）
种



（7）已知不等式组
表示的平面区域的面积等于
，则
的值为



﹙A﹚

（B）



﹙C﹚

（D）



（8）如图，正方体
中，点
为线段
上一动点，点
为底面
内（含边界）

一动点，
为
的中点，点
构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为



（A）棱柱

（B）棱锥



（C）棱台

（D）球





第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）在复平面内，复数
对应的点的坐标为 .

（10）在△
中，
，
，
，则
.

（11）如图，
为圆上一点，过点
的切线交
的延长线于点
，
，
，

，则
；圆的直径为 ．

（12）如图，在梯形
中，


，
，
，点
是
边

上一动点，则
的最大值为 ．





（13）已知函数
若关于
的方程
有三个不同的实根，则实数
的取值

范围是 ．

（14）对于非空实数集合
，记
，设非空实数集合
满足条件“若
，则
” 且
，给出下列命题：

①若全集为实数集
，对于任意非空实数集合
，必有
；

②对于任意给定符合题设条件的集合

，必有
；

③存在符合题设条件的集合

，使得
；

④存在符合题设条件的集合

，使得
．

其中所有正确命题的序号是 ．







三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）求
在区间
上的取值范围．

（16）（本小题共13分）

为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对纯电动乘用车补贴标准如下表：

新能源汽车补贴标准



车辆类型

续驶里程
（公里）













纯电动乘用车


万元/辆


万元/辆


万元/辆



某校研究性学习小组，从汽车市场上随机选取了
辆纯电动乘用车，根据其续驶里程
（单次充电后能行驶的最大里程）作出了频率与频数的统计表：

分组

频数

频率



























合计







（Ⅰ）求
，
，
，
的值；

（Ⅱ）若从这
辆纯电动乘用车中任选
辆，求选到的
辆车续驶里程都不低于
公里的概率；

（Ⅲ）若以频率作为概率，设
为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求
的分布列和数学期望
．

（17）（本小题共14分）

如图，三棱柱
中，
平面
，
，
，
．以

，
为邻边作平行四边形
，连接
和
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段
上是否存在点
，使平面
与平面
垂直？若存在，求出
的长；若

不存在，说明理由．

（18）（本小题共14分）

已知函数
，其导函数
的图象经过点
，
，如图所示．

（Ⅰ）求
的极大值点；

（Ⅱ）求
的值；

（Ⅲ）若
，求
在区间
上的最小值．

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆
：
的右焦点为
，短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
，
，是否存在直线
，使得△
与△
的面积比值为
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由．

（20）（本小题满分13分）

在数列
中，若
（
，
，
为常数），则称
为
数列．

（Ⅰ）若数列
是
数列，
，
，写出所有满足条件的数列
的前
项；

（Ⅱ）证明：一个等比数列为
数列的充要条件是公比为
或
；

（Ⅲ）若
数列
满足
，
，
，设数列
的前
项和为
．是否存在

正整数

，使不等式
对一切
都成立？若存在，求出

的值；

若不存在，说明理由．

数学（理）参考答案

一、选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

A

B

C

C

B

D

A





二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）

（9）

（10）

（11）
；

（12）

（13）

（14）②③④

三、

（15）（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）
，

------------------3分

------------------5分

∴函数
的最小正周期为
. ------------------6分

由
，
-----------------7分

得
，

∴
的单调增区间是
，
-----------------8分

（Ⅱ）

------------------3分

函数
在区间
上的取值范围为

. ------------------5分

（16）（本小题共13分）

解：

（Ⅰ） 由表格可知
，所以
，
，
，

. ------------------4分

（Ⅱ）设“从这
辆纯电动车中任选
辆，选到的
辆车的续驶里程都不低于
公里”

为事件
，则
. ------------------4分

（Ⅲ）
的可能取值为
，
，
------------------1分

所以
的分布列为



















------------------3分

. ------------------5分

（17）（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）连结
，
三棱柱
中
且
，

由平行四边形
得
且

且
------------------1分

四边形
为平行四边形，
------------------2分

平
，
平面
------------------3分

平面
------------------4分

（Ⅱ）由
，四边形
为平行四边形得
，
底面

如图，以
为原点建立空间直角坐标系
，则
，
，

，
， ------------------1分

，
，

设平面
的法向量为
，则

即
，令
，则
，

------------------3分

直线
与平面
所成角的正弦值为
. ------------------5分

（Ⅲ）设
，
，则
------------------1分

设平面
的法向量为
，则

， 即

令
，则
，
，所以
------------------3分

由（Ⅱ）知：平面
的法向量为

假设平面
与平面
垂直，则
，解得，

线段
上不存在点
，使平面
与平面
垂直.

------------------5分

（18）（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）由导函数图象可知：
在区间
单调递增，在区间
单调递减，

所以，
的极大值点为
------------------3分

（Ⅱ）
------------------2分

由
得
------------------3分

当
时，
与已知矛盾，
------------------5分

（Ⅲ）

①当
，即
时，
在区间
上单调递减

------------------2分

②当
，即
时，
在区间
上单调递减，在区间

上单调递增，
------------------4分

③当
时，
在区间
上单调递增，

------------------6分

（19）（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）由已知得
，
------------------3分

，所以椭圆
的方程为
------------------4分

（Ⅱ）
等价于
------------------2分

当直线
斜率不存在时，
，不符合题意，舍去； ------------------3分

当直线
斜率存在时，设直线
的方程为
，

由
消
并整理得
------------------5分

设
，
，则

①，
② ------------------7分

由
得
③

由①②③解得
，因此存在直线
：
使得
与

的面积比值为
------------------9分

（20）（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）由
是
数列，
，
，有
，

于是
,

所有满足条件的数列
的前
项为：

；
；
；
． ------------------4分

（Ⅱ）（必要性）设数列
是等比数列，
（
为公比且
），则

，若
为
数列，则有

（
为与
无关的常数）

所以
，
或
． ------------------2分

（充分性）若一个等比数列
的公比
，则
，
，所

以
为
数列；

若一个等比数列
的公比
，则
，

，

所以
为
数列． ------------------4分

（Ⅲ）因
数列
中
，则

，

所以数列
的前
项和
------------------1分

假设存在正整数

使不等式
对一

切
都成立．即

当
时，
，又
为正整数，

． -----------------3分

下面证明：
对一切
都成立．

由于

所以

------------------5分