湖南省2014届高三六校联考

数学（文）试题

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知P={ -1，0，
}，Q={y|y= sin
，
∈R），则P
Q=

A．
B．{0} C．{ -1，0} D．{-1，0，
）

2．已知i为虚数单位，若
=y+2i，x，y∈R，则复数x+yi=

A． 2+i B．-2－i C．l－2i D．1+2i

3．“log2a>log2b”是“2a>2b”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知倾斜角为a的直线l与直线x－2y+2=0平行，则tan 2a的值为

A．
B．
C．
D．

5．若变量x，y满足
，实数z是2x和-4y的等差中项，则z的最大值等于

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知x．y∈R+，a=（x，1），b=（1，y－1），若a⊥b，则
的最小值为

A．4 B．9 C．8 D．10

7．设函数f（x）=
是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）<

f（x）对于x∈R恒成立，则

A．f（2）＞e2f（0），f（2 014＞e2 014f（0）

B．f（2）＞e2f（0），，（2 014）

C．f（2）

D．f（2）

8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是

A．
B．

C．－
D．0

9．已知双曲线
（m>0，n>0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2 =16x的焦点重合，则mn的值为

A．4 B．12 C．16 D．48

10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）－g（x）在x∈

[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为 “关联区间”．若f（x）=x2－3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围是

A．
B．[-1，0] C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

11．在直角坐标系中，参数方程为
为参数）的直线l，被以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，极坐标方程为
的曲线C所截，则截得的弦长是 ．

12．设函数f（x）=x2－5x+4（l≤x≤8），若从区间[1，8]内随机选取一个实数x0，则所选取的实数x0满足f（x0）≤0的概率为 ．

13．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是 ．

14．①函数y= sin
在[0，
]上是减函数；

②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x－y=0的两侧；

③数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n=4时，Sn取得最大值；

④定义运算
，则函数f（x）=

的图象在点（1，
）处的切线方程是6x－3y－5=0．

其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．

15．对于实数x，将满足“0≤y

①
； ②
。

（1）当
时，数列{an}的通项公式为 。

（2）当
时，对任意的
都有
，则a的值为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，

（I）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（Ⅱ）在（I）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，a，b，c分别是角A、C的对边，m=（b，2a－c），n=（cos B，cos C）且m∥n ．

（I）求角B的大小；

（Ⅱ）设
，且f（x）的最小正周期为
，求f（x）在区间
上的最大值和最小值。

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和
，AP= 2,E、F依次是PB、PC的中点．

（I）求证：PB⊥平面AEFD;

（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

19．（本小题满分13分）

已知函数f（x）=-x3+mx在（0，1）上是增函数．

（I）实数m的取值集合为A，当m取值集合A中的最小值时，定义数列{an}：满足a1=3，且
，求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）根据（I）结论，若
，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：
。

20．（本小题满分13分）

已知命题“若点M（x0，y0）是圆x2+y2=r2上一点，则过点M的圆的切线方程为x0x+y0y=r2”．

（I）根据上述命题类比：“若点M（x0，y0）是椭圆
（a>b>0）上一点，则过点M的切线方程为 ”（写出直线的方程，不必证明）．

（Ⅱ）已知椭圆C：
（a>b>0）的左焦点为F1（-1,0），且经过点（1，
）．

（i）求椭圆C的方程；

（ii）过F1的直线l交椭圆C于A、B两点，过点A、B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程。

21．（本小题满分13分）

已知f（x）是定义在
上的奇函数，当x∈（0，+
）时，f（x）=ax+2lnx（a∈R）．

（I）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）是否存在负实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）对x∈D，如果函数F（x）的图象在函数G（x）的图象的下方（没有公共点），则称函数 F（x）在D上被函数G（x）覆盖，若函数f（x）在区间x∈（1，+
）上被函数g（x）=x3覆盖，求实数a的取值范围．

（注：e是自然对数的底数，[ln（-x）]′ =
）

参考答案