湖北省武汉市2014届高三下学期四月调考

数学理试题

2014.4.17

本试卷共5页，共22题。满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸无效。

3. 填空题和解答题的作答：用签字笔直接在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

若复数
（
为实数，
为虚数单位）是纯虚数，则

A.7 B.-7 C.
D.

若一元二次不等式
对一切实数
都成立，则
的取值范围为

A.
B.
C.
D.

已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的

体积是

A.108

B.100

C.92

D.84

已知命题
，使
为偶函数；命题

，则下列命题中为真命题的是

A.
B.
C.
D.

已知
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，
为
上一点，若
，

则△
的面积为

A.2 B.
C.
D.4

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为
，若A,B,C成等差数列，
成等比数

列，则

A.0 B.
C.
D.

安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的

种数是

A.180 B.240 C.360 D.480

设
均为正数，
，则函数
的两个零点

分别位于区间

A.
内 B.
内

C.
内 D.
内

如图，在△ABC中，∠C=90°,CA=CB=1,
为△ABC内一点，

过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三

角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为

A.
B.

C.
D.

设函数
有两个极值点
,且
,
,则

A.
B.

C.
D.

填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模凌两可均不得分。

必考题（11-14题）

一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，

收集数据如下：

零件数x（个）

10

20

30

40

50



加工时间y（分钟）

64

69

75

82

90





由表中数据，求得线性回归方程
，根据回归方程，预测加工70个零件所

花费的时间为________分钟.

执行如图所示的程序框图，则输出的
的值是______.

在计算“1×2+2×3+...+n（n+1）”时，某同学学到了如下

一种方法：

先改写第k项：k（k+1）=

由此得1×2-
.

.

.............

.

相加，得1×2+2×3+...+n（n+1）
.

类比上述方法，请你计算“1×2×3×4+2×3×4×+....+
”，其结果

是_________________.（结果写出关于
的一次因式的积的形式）

如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线

左侧的图形的面积为
，则

（I）函数
的解析式为_______；

（II）函数
的图像与直线
轴围成的图形面积为______.

选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑.如果全选，则按第15题作答结果计分.）

（选修4-1：几何证明选讲）

如图，在△ABC中，∠C=90°,∠A=60°,过C作△ABC的外接圆

的切线CD,BD⊥CD于D.BD与外接圆交于点E,已知DE=5，则△

ABC的外接圆的半径为______.

（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建

立极坐标系.已知直线
与曲线
（
为参数）相交于A,B两

点，若
为线段AB的中点，则直线OM的斜率为_______.

解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知向量
，
，
,其中
.

（I）若
,求
；

（II）设函数
是
在
方向上的投影,在给出的直角坐标系中，画出
在

的图像.

（本小题满分12分）

在等比数列
中，其前
项和为
,已知
,
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）是否存在正整数
，使得
？，并说明理由.

（本小题满分12分）

如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=1，PB=PD=
,

点E在PD上，且PE=2ED.

（I）求二面角P-AC-E的大小；

（II）试在棱PC上确定一点F,使得BF//平面AEC.

（本小题12分）

一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑

球的概率为
；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率为
.

（I）若袋中共有10个球；

（i）求白球的个数；

（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为
,求
的数学期望
.

（II）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
.

（本小题满分13分）

如图，A,B是椭圆
：
的左、右顶点，
是椭圆
上位于
轴上方的动点，

直线
与直线
分别交于
两点.

（I）若
,求点
的左边；

（II）记△
和△
的面积分别为
和
.是否存在实数
，使得
？若存

在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由.

（本小题满分14分）

已知函数
.

（I）求
的最大值；

（II）设
，
是曲线
的一条切线,证明：曲线

上的任意一点都不可能在直线
的上方；

（III）求证：
（其中
为自然

对数的底数，
）.