试卷类型：A

唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）已知a∈R，若为实数，则a＝（A）2 （B）－2 （C）－ （D）

（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋)的图象关于点(，0)对称，则下列命题中的真命题为（A）p∧q （B）p∧(q （C）(p∧q （D）(p∨(q

（3）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为（A）1，－1 （B）2，－2（C）1，－2 （D）2，－1

（4）执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（A）n≤9？ （B）n≤10？（C）n≥10？ （D）n≥11?

（5）已知sinα＋cosα＝，则tanα＝（A） （B） （C）－ （D）－

（6）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f()＝（A）－ （B）－（C） （D）

（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（A）240种 （B）120种 （C）60种 （D）180种

（8）直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在半径为的球面上，AB＝AC＝，AA1＝2，则二面角B-AA1-C的余弦值为（A）－ （B）－ （C） （D）

（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A） （B）（C） （D）

（10）若正数a，b，c满足c2＋4bc＋2ac＋8ab＝8，则a＋2b＋c的最小值为（A） （B）2（C）2 （D）2

（11）已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（A）[，1) （B）[，] （C）[，1) （D）[，1)

（12）若不等式lg≥(x－1)lgn对任意不大于1的实数x和大于1的正整数n都成立，则a的取值范围是（A）[0，＋∞) （B）(－∞，0]（C）[，＋∞) （D）(－∞，]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg）服从正态分布N(10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为__________．（精确到0.0001）

注：P(μ－σ＜x≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜x≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ＜x≤μ＋3σ)＝0.9974．

（14）已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，若a，b在向量c上的投影相等，且(c－a)·(c－b)＝－，则向量c的坐标为________．

（15）已知F1，F2为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝_________．

（16）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90(，则cosB＝________．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

在公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝＋＋…＋，证明：≤bn＜1．

（18）（本小题满分12分）

甲向靶子A射击两次，乙向靶子B射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分．

（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；

（Ⅱ）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望．

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

（20）（本小题满分12分）

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标．

（21）（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R．

（Ⅰ）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)＜0，求a的取值范围；

（Ⅱ）若f(x)＝x有两个不同的实数解u，v（0＜u＜v），证明：f(()＞1．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG．求证：

（Ⅰ）△DEF∽△EAF；

（Ⅱ）EF∥CB．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，＝2，点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；

（Ⅱ）求点P到点D(0，－2)距离的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋3|，a∈R．

（Ⅰ）当a＝－1时，解不等式f(x)≤1；

（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f(x)≤4，求a的取值范围．

唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学参考答案

选择题：

A卷：CABAA BBDCD CD

B卷：DBBAA BADCD DC

二、填空题：

（13）0.0228 （14）(，) （15） （16）

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d．由已知得



注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1．

所以an＝n＋1． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

bn＝＋＋…＋，bn＋1＝＋＋…＋，

因为bn＋1－bn＝＋－＝－＞0，

所以数列{bn}单调递增． …8分

bn≥b1＝． …9分

又bn＝＋＋…＋≤＋＋…＋＝＜1，

因此≤bn＜1． …12分

（18）解：

（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A，则

P(A)＝C0.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． …4分

（Ⅱ）X的可能取值为0，5，10，15，20．

P(X＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P(X＝5)＝C0.8×0.2×0.5＝0.16，

P(X＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P(X＝15)＝C0.8×0.2×0.5＝0.16，

P(X＝20)＝0.82×0.5＝0.32．

X的分布列为

X

0

5

10

15

20



P

0.02

0.16

0.34

0.16

0.32



…10分

X的期望为

E(X)＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． …12分

（19）解：

（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，

因为BD(平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD． …4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，BC＝AB＝2． …5分

设AC∩BD＝O，建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB＝b，OC＝c，

则P(0，－c，2)，B(b，0，0)，E(0，－c，1)，C(0，c，0)．

＝(b，c，－2)，＝(b，0，0)，＝(0，－c，1)．

设n＝(x，y，z)是面EBD的一个法向量，则n·＝n·＝0，

即取n＝(0，1，c)． …8分

依题意，BC＝＝2． ①

记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件

sinθ＝＝＝． ②

解得b＝，c＝1． …10分

所以四棱锥P-ABCD的体积

V＝×2OB·OC·PA＝×2×1×2＝． …12分

（20）解：

（Ⅰ）由已知得M(－，0)，C(2，0)．

设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|＝．

于是|CR|＝＝，

所以|CM|＝＝＝3，即2＋＝3，p＝2．

故抛物线E的方程为y2＝4x． …5分

（Ⅱ）设N(s，t)．

P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．

圆D方程为(x－)2＋(y－)2＝，

即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0． ①

又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0． ②

②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0． ③ …9分

P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．

因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，s＝．

故点N坐标为(，)或(，－)． …12分

（21）解：

（Ⅰ）当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜0等价于x－＜a．

令g(x)＝x－，则g((x)＝．

当x∈(0，1)时，g((x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g((x)＞0．

g(x)有最小值g(1)＝1． …4分

故a的取值范围是(1，＋∞)． …5分

（Ⅱ）因f(x)＝x，即x2－lnx＝(a＋1)x有两个不同的实数解u，v．

故u2－lnu＝(a＋1)u，v2－lnv＝(a＋1)v．

于是(u＋v)(u－v)－(lnu－lnv)＝(a＋1)(u－v)． …7分

由u－v＜0解得a＝u＋v－－1．

又f((x)＝2x－－a，所以

f(()＝(u＋v)－－(u＋v)＋＋1＝－＋1． …9分

设h(u)＝lnu－lnv－，则当u∈(0，v)时，h((u)＝＞0，

h(u)在(0，v)单调递增，h(u)＜h(v)＝0，

从而－＞0，因此f(()＞1． 12分

（22）解：

（Ⅰ）由切割线定理得FG2＝FA·FD．

又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，即＝．

因为∠EFA＝∠DFE，所以△FED∽△EAF． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED＝∠FAE．

因为∠FAE＝∠DAB＝∠DCB，

所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB． …10分

（23）解：

（Ⅰ）设P(x，y)，由题设可知，

则x＝|AB|cos((－α)＝－2cosα，y＝|AB|sin((－α)＝sinα，

所以曲线C的参数方程为（α为参数，90(＜α＜180(）． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4

＝－3sin2α＋4sinα＋8＝－3(sinα－)2＋．

当sinα＝时，|PD|取最大值． …10分

（24）解：

（Ⅰ）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．

当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；

当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得－≤x＜－1；

当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．

综上，不等式的解集为[－，＋∞)． …5分

（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，

由此得a≥－7且a≤2x＋7．

当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，

所以a的取值范围是[－7，7]． …10分