河北省唐山市2014届高三4月第二次模拟

文科数学

说明：

一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．

二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．

三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．

四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．

（1）已知a∈R，若为实数，则a＝（A）2 （B）－2 （C）－ （D）

（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋)的图象关于点(，0)对称，则下列命题中的真命题为（A）p∧q （B）p∧(q （C）(p∧q （D）(p∨(q

（3）设变量x，y满足
，则2x＋y的最大值和最小值分别为（A）1，－1 （B）2，－2（C）1，－2 （D）2，－1

（4）执行右边的程序框图，若输出的S是255，则判断框内应填写（A）n≤6？ （B）n≤7？（C）n≥7？ 　　（D）n≥8?

（5）已知sinα＋cosα＝，则tanα＝（A） （B） （C）－ （D）－

（6）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f()＝（A）－ （B）－（C） （D）

（7）用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为

　　（A）
　　　（B）
　　　　　（C）
　　　　　　（D）

（8）正三棱柱的底面边长为
，高为2，则这个三棱柱的外接球的表面为

（A）4
　　　　（B）

　（C）

（D）8

（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）4＋4
（B）（C）12　　　 （D）8

（10）若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为（A）9 　　　　（B）2（C）3 　　（D）2

（11）已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（A）[，1) （B）[，] （C）[，1) （D）[，1)

（12）若不等式lg
≥(x－1)lg3对任意
恒成立，则a的取值范围是（A）(－∞，0] （B）[1，＋∞) （C）[0，＋∞) （D）(－∞，1]

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．

（13）已知函数
，若
，则f（－a）＝＿＿＿＿

（14）已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，若a，b在向量c上的投影相等，且(c－a)·(c－b)＝－，则向量c的坐标为________．

（15）已知F1，F2为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝_________．

（16）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90(，则cosB＝________．

三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

在公差不为0的等差数列{an}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比数列．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝＋＋…＋，试比较bn＋1与bn的大小　，并说明理由。

（18）（本小题满分12分）

某种水果的单个质量在500g以上视为特等品 随机抽取1000个水果。结果有50个特等品 将这50个水果的质量数据分组，得到右边的频率分布表。

（I）估计该水果的质量不少于560g的概率；

（II）若在某批该水果的检测中，发现有15个特等品，据此估计该批水果中没有达到特等品的个数。

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；

（Ⅱ）若PA＝AB＝AC＝2，求三棱锥P-EBD的体积．

（20）（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝x2－lnx－ax，a∈R．

（I）当a＝1时，求f（x）的最小值；

（II）若f(x)＞x，求a的取值范围；

（21）（本小题满分12分）

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝．

（Ⅰ）求抛物线E的方程；

（Ⅱ）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标．

请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG．求证：

（Ⅰ）△DEF∽△EAF；

（Ⅱ）EF∥CB．

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

长为3的线段两端点A，B分别在x轴正半轴和y轴的正半轴上滑动，＝2，点P的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）以直线AB的倾斜角α为参数，求曲线C的参数方程；

（Ⅱ）求点P到点D(0，－2)距离的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x－a|－|x＋3|，a∈R．

（Ⅰ）当a＝－1时，解不等式f(x)≤1；

（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f(x)≤4，求a的取值范围．

文科数学参考答案

选择题：

A卷：CABAA BBDCD CD

B卷：DBBAA BADCD DC

二、填空题：

（13） （14）(，) （15） （16）

三、解答题：

（17）解：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d．由已知得

 …4分

注意到d≠0，解得a1＝2，d＝1．

所以an＝n＋1． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

bn＝＋＋…＋，bn＋1＝＋＋…＋，

因为bn＋1－bn＝＋－ …10分

＝－＞0， …11分

所以bn＋1＞bn． …12分

（18）解：

（Ⅰ）由已知可得该水果的质量不少于560g的概率

p＝0.16＋0.04＝0.2． …6分

（Ⅱ）设该批水果中没有达到特等品的个数为x，则有

＝，解得x＝285． …12分

（19）解：

（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，

因为BD(平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，∠BAD＝120(．

所以S△ABD＝BD·AC＝． …7分

设AC∩BD＝O，连结OE，则（Ⅰ）可知，BD⊥OE．

所以S△EBD＝BD·OE＝． …9分

设三棱锥P-EBD的高为h，则

S△EBD·h＝S△ABD·AE，即×h＝××1，解得h＝． …12分

（20）解：

（Ⅰ）当a＝1时，f(x)＝x2－lnx－x，f((x)＝．

当x∈(0，1)时，f((x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f((x)＞0．

所以f(x)的最小值为f(1)＝0． …5分

（Ⅱ）f(x)＞x，即f(x)－x＝x2－lnx－(a＋1)x＞0．

由于x＞0，所以f(x)＞x等价于x－＞a＋1． …7分

令g(x)＝x－，则g((x)＝．

当x∈(0，1)时，g((x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，g((x)＞0．

g(x)有最小值g(1)＝1．

故a＋1＜1，a的取值范围是(－∞，0)． …12分

（21）解：

（Ⅰ）由已知得M(－，0)，C(2，0)．

设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|AR|＝．

于是|CR|＝＝，

所以|CM|＝＝＝3，即2＋＝3，p＝2．

故抛物线E的方程为y2＝4x． …5分

（Ⅱ）设N(s，t)．

P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点．

圆D方程为(x－)2＋(y－)2＝，

即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0． ①

又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0． ②

②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0． ③ …9分

P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．

因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，s＝．

故点N坐标为(，)或(，－)． …12分

（22）解：

（Ⅰ）由切割线定理得FG2＝FA·FD．

又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，即＝．

因为∠EFA＝∠DFE，所以△FED∽△EAF． …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED＝∠FAE．

因为∠FAE＝∠DAB＝∠DCB，

所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB． …10分

（23）解：

（Ⅰ）设P(x，y)，由题设可知，

则x＝|AB|cos((－α)＝－2cosα，y＝|AB|sin((－α)＝sinα，

所以曲线C的参数方程为（α为参数，90(＜α＜180(）． …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

|PD|2＝(－2cosα)2＋(sinα＋2)2＝4cos2α＋sin2α＋4sinα＋4

＝－3sin2α＋4sinα＋8＝－3(sinα－)2＋．

当sinα＝时，|PD|取最大值． …10分

（24）解：

（Ⅰ）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．

当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；

当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得－≤x＜－1；

当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．

综上，不等式的解集为[－，＋∞)． …5分

（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，

由此得a≥－7且a≤2x＋7．

当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，

所以a的取值范围是[－7，7]． …10分