2014年湖北省七市(州)高三年级联合考试

数学试题(理工类)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0)，B=
，则A∪B=

A．?

2．下列说法错误的是

A．命题“若x2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”

B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假

C．若x，y∈R，则“x=y”是
的充要条件

D．若命题p：
∈R，
则

3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线
近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是

A．线性相关关系较强，b的值为1．25

B．线性相关关系较强，b的值为O．83

C．线性相关关系较强，b的值为-0．87

D．线性相关关系太弱，无研究价值

4．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为

A．92+24
B．82+24
C．92+14
D．82+14

5．阅读如图所示的程序框图，则输出结果s的值为

6．已知函数f（x)与g（x)的图像在R上不间断，由下表知方程f（x)=g（x)有实数解的区间是

x

-1

O

1

2

3



f（x)

-0.677

3.011

5.432

5.980

7.651



g（x)

-0.530

3.451

4.890

5.241

6.892



A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)

7．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组
，设
与
的夹角为θ，则tanθ的最大值为

8．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤
，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是

9．如果对定义在R上的函数f（x)，对任意x1≠x2，都有x1f（x1)+x2f（x2)>x1f（x2)+x2f（x1)则称函数f（x)为“H函数”．给出下列函数：

①y=-x3+x+1；②y=3x-2(sinx-cosx)；
．

其中函数式“H函数”的个数是：

A．4 B．3 C．2 D．1

10．已知双曲线
的两个焦点为F1、F2，其中一条渐近线方程为
P为双曲线上一点，且满足|OP|<5(其中O为坐标原点)，若|PF1|、|F1F2|、|PF2|

成等比数列，则双曲线C的方程为

第Ⅱ卷(非选择题，共100分)

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，考生共需作答5题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，横棱两可均不得分．

(一)必考题：(11-14题)

11．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数
的共轭复数是 ．

12．设
，则a4= ．

13．物体A以速度v=3t2+1(t的单位：s，v的单位：m／s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t(t的单位：s，v的单位：m／s)的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为 m．

14．将长度为l，（l≥4，l∈N*）的线段分成n（n≥3）段，每段长度均为正整数，并要求这n段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l=4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n的最大值为3；当l=7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n的最大值为4．则：

（1）当l=12时，n的最大值为 ；

（2）当l=100时，n的最大值为 ．

(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．

15．(几何证明选讲)如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2
；∠APB=30°，则AE= ．

16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为
，曲线C的参数方程为
(α为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)已知向量
，设函数

(1)求函数f（x)的单调递增区间：

(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
求f（C）的值．

18．(本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，其中a1=b1=1，a2≠b2，且b2为a1、a2的等差中项，a2为b2、b3的等差中项．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)记
，求数列{cn}的前n项和Sn．

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

18．（本小题满分12分）己知向量
设函数

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足
求f（C）的值．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．

(Ⅰ)设PD与平面PAC所成的角为α，二面角P-CD-A的大小为β，求证：tanα=cosβ.

(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点F(与A，B两点不重合)，使得AE∥平面PCF?若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．

（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x0；

（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x0时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）

①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率；

②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望．

21．（本小题满分13分）已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作与X轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，连结AP、AQ分别交直线
于M、N两点，试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．

22．（本小题满分14分）已知函数

(Ⅰ)设F(x)=f(x)+g(x)，求函数F(x)的图像在x=1处的切线方程：

(Ⅱ)求证：
对任意的x∈(0，+∞)恒成立；

(Ⅲ)若a，b，c∈R+，且
求证：

参考答案

说明

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。

A卷：1~5：ACBAD 6~10 ：BCDBA

B卷1~5：DBBCA 6~10 ：BCDCA

11、
12、240 13、130 14、（1）
；（2）
（注：第一问2分，第二问3分）15、
16、

17、解：(1)

4分令
6分所以所求增区间为
7分

(2)由
，
，
8分
，即
10分 又∵
，
11分 
12分

18．解：(1)设公比及公差分别为q，d由
得：
或
， 3分又由
，故
4分从而
6分

(2)
8分
9分令
① 
② 由②—①得
11分∴
12分

19．解法一：(1)证明：
又

1分又
平面
，
,
面
2分∴

3分
, 5分

6分

(2)取
的中点
，连
交
于
,由
与
相似得，
, 7分在
上取点
,使
,则
, 8分在
上取点
使
,由于
平行且等于
, 故有
平行且等于
， 9分四边形
为平行四边形，所以
, 10分而
, 故有
∥平面
, 11分所以在线段
上存在一点
使得
∥平面
，
的长为
. 12分

解法二：（1）同解法一；

(2)如图，以
为原点，
所在直线分别为
轴，建立直角坐标系，则

为
的中点,则
7分假设存在符合条件的点
，则
共面，故存在实数
，使得
9分 即
，故有
即
11分即存在符合条件的点
，
的长为
. 12分

20．(1)解：
2分(2)解：①设报纸送达时间为
3分则小明父亲上班前能取到报纸等价于
6分如图可知，所求概率为
8分②
服从二项分布，故
（天） 12分

21．(1)解:由题意：
2分
3分故椭圆C的方程为
4分

(2)解：设
，若直线
与纵轴垂直， 则
中有一点与
重合，与题意不符故可设直线
. 5分将其与椭圆方程联立，消去
得：
6分
7分由
三点共线可知，
，
， 8分同理可得
9分
10分而
11分所以
故直线
、
的斜率为定值
. 13分

22．(1)解：
，
，则

，∴
图像在
处的切线方程为
即
3分

(2)解：令
，
4分则
∵
与
同号 ∴
∴
∴
∴
在
单调递增 6分又
，∴当
时，
；当
时，
∴
在
单调递减，在
单调递增 ∴
∴
即
对任意的
恒成立 8分

(3)解：由（2）知
9分则

11分由柯西不等式得
∴

13分同理



三个不等式相加即得证。 14分