天津一中2013-2014学年高三年级四月考

数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共40分）

1. 设集合
则A
等于（ ）

A． {1,2,5} B．{l, 2，4, 5} C．{1，4, 5} D．{1，2，4}

2．设动点
满足
，则
的最大值是（ ）

A. 50 B. 60 C. 70 D. 100

3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

4. 下列命题中正确的是( )

A.命题“
，

”的否定是“
”

B.命题“
为真”是命题“
为真”的必要不充分条件

C.若“
，则
”的否命题为真

D.若实数
，则满足
的概率为
.

5. 已知双曲线
的两条渐近线均与
相切，则该双曲线离心率等于( )

A．
B．
C．
D．

6. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数
在
上是增函数，
，若
，则
的取值范围

是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知
，且函数
恰有3个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．[-4，0] D．

二、填空题（每小题5分，共30分）

9.
是虚数单位，复数
的值是_______________________

10. 在锐角△
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，若
，
且
，则△
的面积为 ________________

11. 直线
过抛物线
的焦点，且交抛物线于
两点，交其准线于
点,已知
,则
____________________

12. 如图，在矩形
中，
点
为
的中点，点
在边
上，若
，则
的值是 ____________

13. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长是_________________

14. 若实数
的最大值是 _____

三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）

15． 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

16．已知函数
，直线
是函数
的图像的任意两条对称轴，且
的最小值为
.

（I）求
的值； （II）求函数
的单调增区间；

（III）若
，求
的值.

17. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小

18．已知各项均为正数的数列
前n项和为
，首项为
，且
等差数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，设
，求数列
的前n项和
.

19．已知椭圆

的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
． （Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知动直线
与椭圆
相交于
、
两点． ①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值； ②若点
，求证：
为定值．

20．设函数
,
.

(Ⅰ)讨论函数
的单调性

(Ⅱ)如果存在
,使得
成立,求满足上述条件的最大整数

(Ⅲ)如果对任意的
,都有
成立,求实数
的取值范围.

四月考答案

1．设集合
则A
等于（ ）

A． {1,2,5} B．{l, 2，4, 5} C．{1，4, 5} D．{1，2，4}

【答案】B

【解析】当k=0时，x=1；当k=1时，x=2；当k=5时，x=4；当k=8时，x=5，故选B.

2．设动点
满足
，则
的最大值是（ ）

A. 50 B. 60 C. 70 D. 100

【答案】D

3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

4．下列命题中正确的是( )

A.命题“
，

”的否定是“
”

B.命题“
为真”是命题“
为真”的必要不充分条件

C.若“
，则
”的否命题为真

D.若实数
，则满足
的概率为
.

【答案】C

5. 已知双曲线
的两条渐近线均与
相切，则该双曲线离心率等于( )

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【解析】圆的标准方程为
，所以圆心坐标为
,半径
，双曲线的渐近线为
，不妨取
，即
，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离
，即
，所以
，
，即
，所以
，选A.

6．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )

A.
B.
C.
D.

【答案】C

7．已知函数
在
上是增函数，
，若
，则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

【答案】B

8．已知
，且函数
恰有3个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．[-4，0] D．

【答案】B

9．
是虚数单位，复数
的值是_________________

【答案】

10．在锐角△
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，若
，
且
，则△
的面积为 ．

【答案】

11. 直线
过抛物线
的焦点，且交抛物线于
两点，交其准线于
点,已知
,则
__________

【答案】

12．如图，在矩形
中，
点
为
的中点，点
在边
上，若
，则
的值是 ．

【答案】

13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，弦EF经过BC的中点D，且EF∥AB，若AB=2，则DE的长是_________.

【解析】由图知DE·DF=BD·CD=1，同理EG·FG=1.又DG=
AB=1，∴DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，∴

答案:

14．若实数
的最大值是

【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.

【解析】∵
=
≥
，∴
≥4，

又∵
=
，∴
=
，∴
=
≥4，即
≥4，即
≥0，∴
≤
，∴
≤
=
，∴
的最大值为
.

【答案】

15．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

【答案】解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分

因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:
×6=3; 第4组:
×6=2; 第5组:
×6=1.

所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分

(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.

则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:

(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),

(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分

其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:

(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, …………10分

所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
…………13分

16．已知函数
，直线
是函数
的图像的任意两条对称轴，且
的最小值为
.

（I）求
的值； （II）求函数
的单调增区间；

（III）若
，求
的值.

【答案】

17． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F

（1）证明PA//平面EDB；

（2）证明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小

（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在
中，EO是中位线，∴PA // EO

而
平面EDB且
平面EDB，

所以，PA // 平面EDB

（2）证明：

∵PD⊥底面ABCD且
底面ABCD，∴

∵PD=DC，可知
是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，

∴
①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC

而
平面PDC，∴
②

由①和②推得
平面PBC

而
平面PBC，∴

又
且
，所以PB⊥平面EFD

（3）解：由（2）知，
，故
是二面角C—PB—D的平面角

由（2）知，

设正方形ABCD的边长为a，则

，

在
中，

在
中，
，∴

所以，二面角C—PB—D的大小为

18．已知各项均为正数的数列
前n项和为
，首项为
，且
等差数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若
，设
，求数列
的前n项和
.

【答案】解（1）由题意知
………………1分

当
时，

当
时，

两式相减得
………………3分

整理得：
……………………4分

∴数列