浙江省嘉兴市2014届高三4月第二次模拟考试

数学理试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
，则“
”是“
”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．如图，这是计算
的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．下列函数中既有奇函数，又在区间
上单调递增的是（ ）

A．
B．

C．
D．

5．甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数是 （ ）

A．18 B．24 C．36 D．48

6．设
、
分别为双曲线
的左、右焦点，若双曲线上存在点P，使得
，则双曲线的离心率为 （ ）

A．2 B．
C．
D．

7．已知函数
，若数列
的前n项和为Sn，且
，则
= （ ）

A．895 B．896 C．897 D．898

8．函数
的图像如图，则
的解析式可能是 （ ）

A．
B．

C．
D．

9．如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=
，AD：BC：AB=2:3:4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：

①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是 （ ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

10．若直线
与不等式组
表示的平面区域无公共点，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．R

二、 填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．已知复数z满足
（i是虚数单位），则
__________．

12．等比数列
前n项的乘积为
，且
，则
=__________．

13．若
，则
=__________．

14．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是_________．

15．如图在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2，D、E是线段BC上的两点，且
，则
的取值范围是___________．

16．焦点为F的抛物线
上有三点A、B、C满足：①△ABC的重心是F；②|FA|、|FB|、|FC|成等差数列．则直线AC的方程是________________________．

17．已知集合
，
，则A中方程的曲线与B中方程的曲线的交点个数是_________．

三． 解答题: 本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18． (本题满分14分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且

（Ⅰ）若
，求角B的大小；

（Ⅱ）若
，求△ABC面积的最小值．

19． (本题满分14分)

如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，PA=AB=AD=2BC=2，∠BAD=
，E是棱PD的中点．

（Ⅰ）若
，求证：AE⊥平面PCD；

（Ⅱ）求
的值，使二面角P—CD—A的平面角最小．

20． (本题满分14分)

有A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．

（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件S为“取得红色的三个球”，事件T为“取得颜色互不相同的三个球”，求P（S）和P（T）；

（Ⅱ）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为
，求
的分布列与数学期望E
．

21． (本题满分15分)

如图，设椭圆
长轴的右端点为A，短轴端点分别为B、C，另有抛物线
．

（Ⅰ）若抛物线上存在点D，使四边形ABCD为菱形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若
,过点B作抛物线的切线，切点为P，直线PB与椭圆相交于另一点Ｑ，求
的取值范围．

21． (本题满分15分)

已知
，函数
．

（Ⅰ）令
，若函数
的图像上存在两点Ａ、Ｂ满足OA⊥OB（O为坐标原点），且线段AB的中点在y轴上，求a的取值范围；

（Ⅱ）若函数
存在两个极值点
、
，求
的取值范围．

2014年高三教学测试（二）

理科数学 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）

1．A； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C；

6．D； 7．A； 8．D； 9．B； 10．C．

第9题提示：

考虑①：因为
，
与
相交不垂直，所以
与
不垂直，则①不成立；

考虑②：设点
的在平面
上的射

影为点
，当
时就有
，

而
可使条件满足，所以②正确；

考虑③：当点
落在
上时，
平面
，从而平面
平面
，所以③正确．

考虑④：因为点
的射影不可能在
上，所以④不成立.

第10题提示：

不等式组
表示的平面区域是由
围成的三角形区域（包含边界）．

因为直线
与
表示的平面区域无公共点, 所以
满足：
或
．

在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．所以
的取值范围是
．

二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分）

11．
； 12．512； 13．
（或6562）； 14．
；

15．
； 16．
； 17．14．

第17题提示：

集合
中的方程表示圆心在直线
上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记
对应的圆分别为⊙
, ⊙
,⊙
,易知⊙
与⊙
外切, ⊙
与⊙
, ⊙
相交, 且经过⊙
的圆心.
对应的三条直线
，
与⊙
外切，
与⊙
外切且与⊙
相交，
与⊙
与⊙
的外公切线且与⊙
相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.

三、解答题（本大题共5小题，共72分）

18．（本题满分14分）

在△
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，且
．

（Ⅰ）若
，求角
的大小；

（Ⅱ）若
，
，求△
面积的最小值．

18．（Ⅰ）（本小题7分）

由正弦定理，得
．

∴
．

∴
（
舍）．

（Ⅱ）（本小题7分）

由（Ⅰ）中
可得
或
．

又
时，
，
，即
，矛盾．

所以
，
，即
．

所以
，

即当
时，
的最小值是
．

19．（本题满分15分）

如图，四棱锥
中，
平面
，
,
，
，
是棱
的中点．

（Ⅰ）若
，求证：
平面
；

（Ⅱ）求
的值，使二面角
的平面角最小．

19．（Ⅰ）（本小题7分）

当
时，

∵
,
．

∴
．

又
平面
，∴
．

∴
平面
．

又
平面
，

∴
．

又
，
是棱
的中点，

∴
．

∴
平面
．

（Ⅱ）（本小题8分）

如图，建立空间直角坐标系
，则
，
，

，
．

∴
、
．

设平面
的法向量为
，

则

取
，得
．

又易知平面
的法向量为
．

设二面角
的平面角为
，

则

要使
最小，则
最大，即
，

∴
，得

20．（本题满分14分）

有A、B、C三个盒子，每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有的球仅有颜色上的区别．

（Ⅰ）从每个盒子中任意取出一个球，记事件
为“取得红色的三个球”，事件
为“取得颜色互不相同的三个球”，求
和
；

（Ⅱ）先从A盒中任取一球放入B盒，再从B盒中任取一球放入C盒，最后从C盒中任取一球放入A盒，设此时A盒中红球的个数为
，求
的分布列与数学期望
．

20．（Ⅰ）（本小题6分）

，
．

（Ⅱ）（本小题8分）

的可能值为
．

①考虑
的情形，首先
盒中必须取一个红球放入
盒，相应概率为
，此时
盒中有2红2非红；若从
盒中取一红球放入
盒，相应概率为
，则
盒中有2红2非红，从
盒中只能取一个非红球放入
盒，相应概率为
；若从
盒中取一非红球放入
盒，相应概率为
，则
盒中有1红3非红，从
盒中只能取一个非红球放入
盒，相应概率为
．故
．

②考虑
的情形，首先
盒中必须取一个非红球放入
盒，相应概率为
，此时
盒中有1红3非红；若从
盒中取一红球放入
盒，相应概率为
，则
盒中有2红2非红，从
盒中只能取一个红球放入
盒，相应概率为
；若从
盒中取一非红球放入
盒，相应概率为
，则
盒中有1红3非红，从
盒中只能取一个红球放入
盒，相应概率为
．故
．

③
．

所以
的分布列为

0

1

2














的数学期望
．

21．（本题满分15分）

如图，设椭圆
长轴的右端点为
，短轴端点分别为
、
，另有抛物线
．

（Ⅰ）若抛物线上存在点
，使四边形
为菱形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若
，过点
作抛物线的切线，切点为
，直线
与椭圆相交于另一点
，求
的取值范围．

21．（Ⅰ）（本小题6分）

由四边形
是菱形，

得
，

且
，解得
，
，

所以椭圆方程为
．

（Ⅱ）（本小题9分）

不妨设
（
），

因为
，

所以
的方程为
，即
．

又因为直线
过点
，所以
，即
．

所以
的方程为
．

联立方程组
，消去
，得
．

所以点
的横坐标为
，

所以
．

又
，所以
的取值范围为
．

22．（本题满分14分）

已知
，函数
，
．

（Ⅰ）令
，若函数
的图象上存在两点
、
满足
（
为坐标原点），且线段
的中点在
轴上，求
的取值集合；

（Ⅱ）若函数
存在两个极值点
、
，求
的取值范围．

22．（Ⅰ）（本小题6分）

由题意，不妨设
，
，且
，

∴
，即
，∴
．

∵
，

∴
的取值集合是
．

（Ⅱ）（本小题8分）

，
．

要使
存在两个极值点，则

即
在
上存在两不等的实根．

令
，

∵
的图象的对称轴为
，∴
且
．

∴
．

由上知
．

∴

．

令
，
，

∴
，
在
上单调递减，

∴
．

故
的取值范围是
．