北京市房山区2014届高三4月模拟（一模）

数学（文）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
，则

（A）

（B）



（C）

（D）



（2）在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限

（B）第二象限



（C）第三象限

（D）第四象限



（3）已知抛物线方程为
，则它的焦点坐标为

（A）

（B）



（C）

（D）



（4）执行如图所示的程序框图，如果输入
，
，则输出的
的值为

（A）

（B）



（C）

（D）



（5）函数
的零点个数为

（A）

（B）



（C）

（D）



（6）已知数列
，则“
”是“数列
为递增数列”的



（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件



（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件



（7）如图，有一块锐角三角形的玻璃余料，
欲加工成一个面积不小于
cm2的内接矩形玻璃

（阴影部分），则其边长
（单位：cm）的取值范围是

（A）

（B）



（C）

（D）



（8）已知直线
：
与函数
的图象交于
，
两点，记△
的面积为
（
为

坐标原点），则函数
是

（A）奇函数且在
上单调递增

（B）偶函数且在
上单调递增



（C）奇函数且在
上单调递减

（D）偶函数且在
上单调递减



第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知△
中，
，
，
，则
.

（10）如图是甲，乙两名同学
次综合测评成绩的茎叶图，则乙的成绩的中位数是 ，

甲乙两人中成绩较为稳定的是 .

甲



乙





9

8

8

3

3

7



2

0

1

9

8

9







（11）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 ．

（12）已知圆
：
，则圆心
的坐标是 ；若直线
与圆
有

两个不同的交点，则
的取值范围是 ．







（13）点
在不等式组
表示的平面区域内，
到原点的距离的最大值为
，

则
的值为 ．

（14）已知正方形
的边长为
，记以
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
，
，
．若

且
，则
的所有可能取值为 ．



三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的最小正周期；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

如图，在三棱柱
中，
平面
，
．以
，
为邻边作平行

四边形
，连接
和
．

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
．

（17）（本小题共13分）

某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取
辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于
公里和
公里之间，将统计结果分

成
组：
，
，
，
，
，绘制成如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中
的值；

（Ⅱ）求续驶里程在
的车辆数；

（Ⅲ）若从续驶里程在
的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为
的概率.

（18）（本小题共14分）

已知函数
．

（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若对于任意的
，都有
，求
的取值范围.

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的一个焦点为
，离心率为
．设
是椭圆
长轴上的一个动点，过点
且斜率为
的直线
交椭圆于
，
两点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的最大值.

（20）（本小题满分13分）

在等差数列
中，
，
．令
，数列
的前
项和为
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式和
；

（Ⅱ）是否存在正整数
，
（
）,使得
，
，
成等比数列？若存在，求出所有

的
，
的值；若不存在，请说明理由.

数学（文）参考答案

一、选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

C

A

C

B

B

D

B



二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）

（9）

（10）
；甲

（11）

（12）
；

（13）

（14）
，

三、解答题（共6小题，共80分）

15.（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）
------------------2分

-----------------5分

∴
的最小正周期
. -----------------7分

（Ⅱ）
，

------------------4分

∴
在区间
上的最大值是
，最小值是
. ------------------6分

（16）（本小题共13分）

证明：

（Ⅰ）连接
，

三棱柱
中
且
，

由
为平行四边形得
且

且
------------------2分

四边形
为平行四边形，
------------------4分

平
，
平
------------------6分

平面
------------------7分

（Ⅱ） ∵平行四边形
中，
，

∴
------------------2分

∵
平面
，
平面

∴
------------------4分

又∵
，
平面
，
平面
，

∴
平面
. ------------------6分

（17）（本小题共13分）

解：

（Ⅰ）由直方图可得：

∴
. ------------------3分

（Ⅱ）由题意可知，续驶里程在
的车辆数为：

------------------4分

（Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在
的车辆数为
，分别记为
，

续驶里程在
的车辆数为
，分别记为
，

设事件
“其中恰有一辆汽车的续驶里程为
”

从该
辆汽车中随机抽取
辆，所有的可能如下：

共
种情况，

------------------3分

事件
包含的可能有
共
种情况，

------------------5分

则
. ------------------6分

（未列举事件，只写对概率结果给2分）

（18）（本小题共14分）

解：

（Ⅰ）
------------------2分

，
-----------------4分

∴曲线
在
处的切线方程为

， 即
. -----------------6分

（Ⅱ）令
得
， -----------------2分

当
变化时，
和
的变化情况如下表：





















↘

极小值

↗



∴
在
上递减，在
上递增 -----------------4分

∴
在
上的最小值是
-----------------6分

∴
，即

∴
的取值范围是
. -----------------8分

（19）（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）由已知，
，
，

∴
，
-----------------3分

∴ 椭圆的方程为
. -----------------4分

（Ⅱ）设点
（
），则直线
的方程为
， -----------------2分

由
消去
，得
-----------------4分

设
，
，则
，

-----------------6分

∴

-----------------8分

∵
， 即

∴当
时，
，
的最大值为
. ---------------10分

（20）（本小题满分13分）

解：

（Ⅰ）设数列
的公差为
，由
得

解得
，

∴
-----------------3分

∵

∴

---------------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，

假设存在正整数
、

，使得
、
、
成等比数列，

则
， 即
---------------2分

经化简，得

∴

∴
（*） ---------------3分

当
时，（*）式可化为
，所以
---------------5分

当
时，

又∵
，∴（*）式可化为
，所以此时
无正整数解.

---------------7分

综上可知，存在满足条件的正整数
、
，此时
，
.

说明：每道解答题基本提供一种解题方法，如有其他解法请仿此标准给分。