江西省南昌市名校2014届高考数学模拟卷（一）

命题人：新建二中 审题人：南昌市教研室

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设i为虚数单位，复数
等于

A．l
i B．
l
i C．l
i D．
l+i

2．（理）在
的二项展开式中，x2的系数为

A．
B．
C．
D．

（文）已知集合M={y|y=sinx, x∈R}，N={0，1，2}, 则M
N=

A．{-1,0,1} B．[0,1] C．{0,1} D．{0，1,2}

3．下列有关命题说法正确的是

A．命题p：“
x∈R，sinx+cosx=
”，则
p是真命题

B．“x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件

C．命题“
x∈R，使得x2 +x+1<0“的否定是：“
x∈R，x2+x+1<0”

D．“a>l”是“y=logax（a >0且a≠1）在（0，+
）上为增函数”的充要条件

4．设m，n是两条不同的直线,
是两个不同的平面，给出下列条件,能得到
的是

A．
，
B．m⊥
，
C．m⊥n,
D．m∥n,

5．设函数f（x）=
，其中
∈
，则导数
（1）的取值范围是

A．[-2，2] B．
C．
D．

6．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

7．设
，函数
的图象可能是

8．（理）己知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn，若直线y = a1x+m与圆（x－2）2+ y2 =1的两个交点关于直线x+y+d=0对称，则Sn=

A． n2 B．－n2 C．2n－n2 D．n2－2n

（文）已知圆C的方程为
，当圆心C到直线
的距离最大时，
的值为

A．
B．
C．
D．5

9．（理）设两个向量
和

，其中
为实数，若
，则
的取值范围是

A．
B．[4，8] C．
D．

（文）已知向量
，
，
，且
，
，则
的最小值为

A．4 B．10 C．16 D．20

10．（理）设抛物线
的焦点为
,点
在
上,
,若以
为直径的圆过点
,则
的方程为

A．
或
B．
或

C．
或
D．
或

（文）已知斜率为2的直线
过抛物线
的焦点F，且与
轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)

11.(理)如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有

（文）如果函数
的两个相邻零点之间的距离为
，则
的值为

12.按如下程序框，最后输出
的结果是

13已知变量
满足约束条件
，且目标函数
的最小值为
，则常数
_______．

14. 已知四棱柱
中，侧棱
底面ABCD，且
，底面ABCD的边长均大于2，且
，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥
体积的最大值为______．

15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）

①．以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线
（
为参数，
）上的点到曲线
的最短距离是

②．（不等式选做题）若存在实数
使
成立，则实数
的取值范围是 .．

15(文). 若存在实数
使
成立，则实数
的取值范围是 .

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16、（本题满分12分）

在△ABC中，
，
.

（1）求sinC的值；

（2）设BC＝5，求△ABC的面积.

17、（本题满分12分）

（理）已知数列｛an}满足：a1＝1，
＝2(n十1)an＋n（n＋1），（
），

（1）若
，试证明数列｛bn}为等比数列；

（2）求数列｛an}的通项公式an与前n项和Sn．

（文）已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且
－1，
，数列
，
，
……，
是首项为1，公比为
的等比数列.

（1）求证：数列{an}是等差数列；

（2）若
，求数列{cn}的前n项和Tn.

18. （本题满分12分）

（理）已知正方形
的边长为2，
分别是边
的中点．

（1）在正方形
内部随机取一点
，求满足
的概率；

（2）从
这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为
，求随机变量
的分布列与数学期望
．

（文）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：

视力数据

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

5.1

5.2

5.3



人数









2



2



2

1



1









（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；

（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为
、
、
、
、
．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于
的概率．

19. （本题满分12分）

（理）如图，在四棱锥
中，
底面ABCD，

底面ABCD是直角梯形，
，
，

，E是PB的中点.

（1）求证：平面
平面PBC；

（2）若二面角
的余弦值为
，

求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

（文）在空间几何体
中，
平面
，

平面
平面
，
，
．

（1）求证：
平面
；

（2）如果
平面
，求证：
．

20. （本题满分13分）

（理）在平面直角坐标系
中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为
，P为椭圆G的上顶点，且

（1）求椭圆G的标准方程；

（2）已知直线
与椭圆G交于A、B两点，直线
与椭圆G交于C、D两点，且
，如图所示.

（i）证明：
；

（ii）求四边形ABCD的面积S的最大值.

（文）四边形ABCD的四个顶点都在抛物线
上，A，C关于
轴对称，BD平行于抛物线在点C处的切线.

（1）证明：AC平分
；

（2）若点A坐标为
，四边形ABCD的面积为4，求直线BD的方程.

21. （本题满分14分）

（理）已知
是函数
的两个极值点．

(1)若
，
，求函数
的解析式；

(2)若
，求实数
的最大值；

(3)设函数
，若
，且
，求函数
在
内的最小值．(用
表示)

（文）若函数
满足：在定义域内存在实数
，使
(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．

（1）函数
是否关于1可线性分解?请说明理由；

（2）已知函数

关于
可线性分解，求
的取值范围；

参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

理B

文C

D

D

D

A

C

理C

文A

理A

文C

理C

文D





二、填空题：每小题5分，共25分．

11．(理)120（文）12； 12．
=7； 13．9； 14．
；

15．（理）
；
（文）

三、解答题：（本大题共6小题共75分）

16、解：（1）在
中，∵
，

又∵

;

（2）由正弦定理知：

17．（理）解：(1)
，

，即
，

,
是以2为首项，2为公比的等比数列.

（2）由(1)知

∴

.

令
，

则
，

两式相减得：
，

.

∴
.

(文)解（1）∵
，

当

即
，
又

故数列
是等差数列.且
;

（2）∵

∴

先求数列
的前
项和
.

∵

.

18.（理）解：（1）所有点
构成的平面区域是正方形
的内部，其面积是
．

满足
的点
构成的平面区域是以
为圆心，
为半径的圆的内部与正方形
内部的公共部分，它可以看作是由一个以
为圆心、
为半径、

圆心角为
的扇形
的内部（即四分之一个圆）与两个

直角边为1的等腰直角三角形（△
和△
）内部

构成．

其面积是
．

所以满足
的概率为
．

（2）从
这八个点中，任意选取两个点，共可构成
条不同的线段．

其中长度为1的线段有8条，长度为
的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为
的线段有8条，长度为
的线段有2条．

所以
所有可能的取值为
．

且
，
，
，

，
．

所以随机变量
的分布列为：



























随机变量
的数学期望为

（文）解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为

．

据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为
．

（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为
、
、
、
、
、
，

所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15种情形．

其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于
的有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共10种．

所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于
的概率为

19．（理）解：（1）
平面ABCD，
平面ABCD，
，

，
，

，

又
，
平面PBC，

平面EAC，
平面
平面PBC

（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）.设P（0，0，a）（a>0），则E（
，
，
），
，
，
，

取
=（1，－1，0）

则
，

为面PAC的法向量

设
为面EAC的法向量，则
，

即
，取
，
，
，

则
，

依题意，
，则

于是

设直线PA与平面EAC所成角为
，则
，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

（文）解：（I）如图，取
中点
，连
，

由
得
，∵平面
⊥平面
，

∴
平面
，又∵
⊥平面
，

∴
∥
， 又∵
平面
，

∴
∥平面
．

（2）连接
，则
．

∵平面
⊥平面
，面
∩面

，

∴
⊥平面
．

又∵
，∴
∥
．

又由（1）知，四边形
是矩形，

∴
，
．

∴
，

而
，则
．

20.（理）解：（1）设椭圆G的标准方程为
（a>b>0）

因为
,
，所以b=c=1

椭圆G的标准方程为

（2）设A（
），B（
），
，D（
）

（i）证明：由
，消去y得

则
，且

同理

，

，

（ii）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则
，因为
，

当且仅当
时，四边形ABCD的面积S取得最大值，且最大值为

（文）（1）设A(x0，x)，B(x1，x)，C(－x0，x)，D(x2，x)．

对y＝x2求导，得y(＝2x，则抛物线在点C处的切线斜率为－2x0．

直线BD的斜率k＝＝x1＋x2，

依题意，有x1＋x2＝－2x0．

记直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，与BD的斜率求法同理，得

k1＋k2＝(x0＋x1)＋(x0＋x2)＝2x0＋(x1＋x2)＝0，

所以∠CAB＝∠CAD，即AC平分∠BAD．

（2）由题设，x0＝－1，x1＋x2＝2，k＝2．四边形ABCD的面积

S＝|AC|·|x－x|＝|AC|·|x2＋x1|·|x－x1|

＝×2×2×|2－2x1|＝4|1－x1|，

由已知，4|1－x1|＝4，得x1＝0，或x1＝2．

所以点B和D的坐标为(0，0)和(2，4)，

故直线BD的方程为y＝2x．

21．（理）解：
．

(1)因为
，
是函数
的两个极值点，

所以
，
．（2分）

所以
，
，解得
，
．

所以
．（4分）

(2)因为
是函数
的两个极值点，

所以
，

所以
是方程
的两根，

因为
，所以
对一切
，
恒成立，

而
，
，又
，所以
，

所以


，

由
，得
，所以

．

因为
，所以
，即
．

令
，则
．

当
时，
，所以
在(0，4)上是增函数；

当
时，
，所以
在(4，6)上是减函数．

所以当
时，
有极大值为96，所以
在
上的最大值是96，

所以
的最大值是
．

(3)因为
是方程
的两根，且
，

所以
，又
，
，

所以

，

所以


，

其对称轴为
，因为
，所以
，即
，

所以在
内函数
的最小值

（文）解：（1）函数
的定义域是R，若是关于1可线性分解，

则定义域内存在实数
，使得
．

构造函数

．

∵
，
且
在
上是连续的，

∴
在
上至少存在一个零点．

即存在
，使
．

另解：函数
关于1可线性分解，

由
，得
．

即
．

作函数
与
的图象，

由图象可以看出，存在
R，使
，

即
)成立．

（2）
的定义域为
．

由已知，存在
，使
．

即
．

整理，得
，即
．

∴
，所以
．

由
且
，得
．

∴a的取值范围是
．