南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷

数学（2）

命题人：江西师大附中 闻家君 审题人：江西师大附中 朱涤非

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
为虚数单位，
，若
，则复数
在复平面上所对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．函数
的定义域为

A．
B．
C．
D．

3．（理）若
，则

A．
B．
C．
D．

（文）若
，则
=

A．
B．
C．
D．

4．设正项等比数列
的前
项和为
，公比为
，若
，则

A．
B．
C．
D．

5．已知函数
，对任意的实数
均存在
使得
成立，且
的最小值为
，则函数
的单调递减区间为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．已知椭圆:
,左右焦点分别为
,,过
的直线
交椭圆于
两点，若
的最大值为5，则
的值是

A．1 B．
C．
D．

7．已知平面
，命题甲：若
，则
，命题乙：若
，则
，则下列说法正确的是

A．当
均为直线时，命题甲、乙都是真命题；

B．当
均为平面时，命题甲、乙都是真命题；

C．当
为直线，
为平面时，命题甲、乙都是真命题；

D．当
为平面，
为直线时，命题甲、乙都是假命题；

8．（理）
展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为

A．
B．
C．
D．

（文）从
中随机取一个数
，则事件“不等式
有解”发生的概率为

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
的图像在点
与点
处的切线互相垂直，则
的最小值为

A．
B．
C．
D．

10．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一

直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的
点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积
关于时间
的函数为
，则下列图中与函数
图像最近似的是

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

























二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)

11．已知两个不共线的单位向量
，
，若
，则
．

12．在
中，
，
，边
的四等分点分别为
，
靠近
，执行下图算法后结果为 ．

13．已知
，则
．

14．为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取
个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为
，样本方差为
，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为 ．

15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）

①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点
，点
在直线
上运动，则线段
的最短长度为 ．

②（不等式选做题）若函数
的值域为
,则实数
的取值范围为 ．

（文）

依此类推，第
个等式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．

三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

在
中，内角
的对边分别为
，
且
．

（I）判断
的形状；（II）若
，求
的取值范围．

17．（本小题满分12分）

正项数列
的前
项和为
满足：
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）令
，数列
的前
项和为
，证明：对于任意的
，都有
．

18．（本小题满分12分）

（理）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班

喜爱

不喜爱

合计



男生



5





女生

10







合计





50




人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已知在全部
人中随机抽取
人抽到喜爱打篮球的学生的概率为
．

（1）请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程)；

（2）能否认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）若从女生中随机抽取
人调查，其中喜爱打篮球的人数为
，求
的分布列与期望．

下面的临界值表供参考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



 (参考公式：
，其中
)

（文）一个袋中装有四个大小形状都相同的小球，它们的编号分别为
，
，
，
．

（1）从袋中随机取两个小球，求取出的两个小球编号之和不大于4的概率；

（2）先从袋中随机取一个小球，该球的编号为
，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个小球，该球的编号为
，求
的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在梯形
中，
∥
，
，
，

四边形
为矩形，平面
⊥平面
，
．

(1) 求证：
⊥平面
；

(2)（文）若点
在线段
上移动，点
为
中点，且
∥平面
，试确定点
的位置，并求此时
的长度．

（理） 若点
在线段
上移动，试问是否存在点
，使得平面
与 平面
所成的二面角为
，若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分13分）

已知抛物线
的焦点
以及椭圆
的上、下焦点及左、右顶点均在圆
上．

（1）求抛物线
和椭圆
的标准方程；

（2）过点
的直线交抛物线
于
两不同点，交
轴于点
，已知
，求
的值；

（3）直线
交椭圆
于
两不同点，
在
轴的射影分别为
、
，
，若点
满足
，证明：点
在椭圆
上．

21．（本小题满分14分）

（理）设函数
，
，其中
．

（1）若函数
图象恒过定点
,且点
在
的图象上,求
的值；

(2)当
时,设
,讨论
的单调性；

(3)在(1)的条件下,设
,曲线
上是否存在两点
、
,使
(
为原点)是以
为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中

点在
轴上?如果存在,求
的取值范围;如果不存在,说明理由．

（文）设函数
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
在
内没有极值点，求
的取值范围；

（3）若对任意的
,不等式
在
上恒成立,求
的取值范围．

、

南昌市2013—2014学年度高三新课标第二轮复习测试卷

数学（2 ）参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

C

B

B

D

D

D

B

B



二、填空题：每小题5分，共25分．

11．
； 12．
； 13．
； 14．
15．（理）
；

（文）

三、解答题：（本大题共6小题共75分）

16．解：（1）由
及正弦定理有

所以
或

若
，且
，所以
或
（舍）

所以
，则
，所以
为等腰三角形．

（2）因为
，所以
，

因为
，所以
，而
，
，

所以
，所以
，

又
，所以

17．解：（1）
，
，解得

当
时，
；

当
时，
（
不适合）

所以

（2）当
时，
，
；

当
时，

综上，对于任意的
，都有
．

18．（理）

喜爱

不喜爱

合计



男生

20

5

25



女生

10

15

25



合计

30

20

50



解：(1) 列联表补充如下：

（2）∵

∴有99.5%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关.

（3）喜爱打篮球的女生人数
的可能取值为
. 其概率分别为

，
，



















故
的分布列为：

的期望值为
．

（文）解：（1）袋中随机取两球的基本事件共有
，

其中编号之和不大于4的基本事件有
两种，所求的概率
．

(2)从袋中依次有放回地两次取球的基本事件总数为
（种）

当
时，
，此时
可取
两种情况；

当
时，
，此时
可取
三种情况；

当
时，
，此时
可取
四种情况；

当
时，
，此时
可取
四种情况，

所以，所求事件的概率
．

19．解：(1) 证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60o，

∴
，
，

∴
，∴
，

又平面
⊥平面
，
是交线，
平面
，

∴
⊥平面
．

(2) （文）设
为
的中点，
为
的中点，连
，
，则
∥
．

因为四边形
为矩形，所以
∥
，所以平面
∥平面

因为

平面
，所以
∥平面
，即M为
的中点时符合题意．

这时，
，

由（I）
⊥平面
，所以
⊥平面
，所以
⊥

即
为直角三角形，得

（理）由(1)知，
、
、
两两垂直，以
为原点，
、
、
所在的直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系（如图），

则
，
，设
，

则
，
，

设
是平面
的法向量，则

取
，得
，

显然
是平面
的一个法向量，

于是
，化简得
，此方程无实数解，

∴ 线段
上不存在点
使得平面
与平面
所成的二面角为45o．

20．解：（1）由抛物线
的焦点
在圆
上得：
，
，∴抛物线

同理由椭圆
的上、下焦点
及左、右顶点
均在圆
上可解得：
．

得椭圆
．

（2）设直线
的方程为
，则
．

联立方程组
，消去
得：

且

由
得：

整理得：

．

（3）设
，则

由
得
…………①

……………………②
……………………③

由①+②+③得

∴
满足椭圆
的方程，命题得证．

21．（理）解：(1)令
,则
,即函数
的图象恒过定点
,

则
，∴
．

(2)
,定义域为
,

=
=

,则

当
时,
此时
在
上单调递增,

当
时,由
得
,由
得
,

此时
在
上为增函数, 在
为减函数,

综上当
时,
在
上为增函数；

时,在
上为增函数,在
为减函数．

(3)由条件(1)知

假设曲线
上存在两点
、
满足题意,则
、
两点只能在
轴两侧

设
,则

因为
是以
为直角顶点的直角三角形,

所以
，
①

当
时,
，

此时方程①为
,化简得
．

此方程无解,满足条件的
、
两点不存在

当
时,
,方程①为
,即

设
,则

显然当
时
即
在
上为增函数,

所以
的值域为
,即
,所以
，即
．

综上所述,如果存在满意条件的
、
,则
的取值范围是
．

（文）解：（1）∵
，

又
，∴当
或
时，
；当
时，
．

∴函数
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
．

（2）由题设可知，方程
在
上没有实根，

∴
，解得
．

（3）∵
，∴由（Ⅰ）知
，

又
，∴

而
，∴

又∵
在
上恒成立，∴
，即

即
在
上恒成立

∵
的最小值为
，∴
．